4-5第1讲绝对值不等式1．(2018·宝鸡市质量检测(一))已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2．(1)解不等式|g(x)|＜5；(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．解：(1)由||x－1|＋2|＜5得－5＜|x－1|＋2＜5，所以－7＜|x－1|＜3，得不等式的解集为{x|－2＜x＜4}．(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为a≥－1或a≤－5．2．(2018·广东肇庆第三次统测)已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a．(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|，两边平方，并整理得(3x＋1)(x－1)≤0，解得－≤x≤1，所以原不等式的解集为．(2)法一：由f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|＋a，即|x＋1|－2|x|≥a．令F(x)＝|x＋1|－2|x|，依题意可得F(x)max≥a．F(x)＝|x＋1|－|x|－|x|≤|x＋1－x|－|x|＝1－|x|≤1，当且仅当x＝0时，等号同时成立，所以F(x)max＝1．所以a的取值范围是(－∞，1]．法二：由f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|＋a，即|x＋1|－2|x|≥a．令F(x)＝|x＋1|－2|x|，依题意可得F(x)max≥a．F(x)＝|x＋1|－2|x|＝易得F(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以当x＝0时，F(x)取得最大值1．故a的取值范围是(－∞，1]．3．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1．(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)若函数h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)的图象与x轴，y轴围成的三角形面积大于a＋4，求a的取值范围．解：(1)当a＝3时，f(x)＋|x－4|＝，1当x≤3时，由f(x)≥4－|x－4|得，－2x＋7≥4，解得x≤；当3＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得，2x－7≥4，解得x≥；综上f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤或x≥}．(2)因为h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，所以h(x)＝所以S＝×2a×＞a＋4，解得a＞4．4．(2018·云南11校跨区调研)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|m－x|(其中m∈R)．(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．解：(1)当m＝2时，f(x)＝|x＋1|＋|2－x|，①当x＜－1时，f(x)≥6可化为－x－1＋2－x≥6，解得x≤－；②当－1≤x≤2时，f(x)≥6可化为x＋1＋2－x≥6，无实数解；③当x＞2时，f(x)≥6可化为x＋1＋x－2≥6，解得x≥．综上，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－或x≥}．(2)因为|x＋1|＋|m－x|≥|x＋1＋m－x|＝|m＋1|，由题意得|m＋1|≥6，即m＋1≥6或m＋1≤－6，解得m≥5或m≤－7，即m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．5．(2018·南昌第一次模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R．(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；(2)当a＜2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．解：(1)由题f(x)≤2－|x－1|，可得|x－|＋|x－1|≤1．而由绝对值的几何意义知|x－|＋|x－1|≥|－1|，由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得|－1|≤1，即0≤a≤4．故实数a的取值范围是[0，4]．(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即＜1时，f(x)＝．所以f(x)min＝f()＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4．6．已知函数f(x)＝2|x＋a|－|x－1|(a＞0)．(1)若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a的取值范围；(2)对任意的x∈R都有f(x)＋2≥0，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝如图所示，函数f(x)的图象与x轴围成的△ABC，求得A(－2a－1，0)，B(，0)，C(－a，－a－1)．所以S△ABC＝[－(－2a－1)]×|－a－1|＝(a＋1)2≥4(a＞0)，2解得a≥－1．(2)由(1)中图，可知f(x)min＝f(－a)＝－a－1，对任意的x∈R都有f(x)＋2≥0，即(－a－1)＋2≥0，解得0＜a≤1．1．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m＞0)．(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范围．解：(1)f(x)...
