三视图问题归类例析连德钦三视图是高中数学新课程的新增内容，能较好地考查同学们的空间想象能力．对于三视图，同学们应学会选取投影面，正确放置三视图中三个图的位置，掌握三视图的画图、识图规律，注意理解平行投影的概念，同时要理解三视图是严格的平行投影．从近几年的高考试题来看，三视图的考查主要是选择题、填空题的形式，试题难度属中等程度．现就近几年的高考试题作一具体归类．题型一：给定几何体，求三视图对于常见的简单几何体，要求能够快速作出其三视图；对于复杂的、不规则的几何体，应正确理解平行投影的概念，作出三视图．例1、（2007年山东高考）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）．A.①②B.①③C.①④D.②④解法1：（直接法）可知②④的正视图和侧视图都为全等的等腰三角形，但俯视图不同．故有且仅有两个视图相同的是②④，选D．解法2：（排除法）显然正方体的三视图都相同且为正方形，其他几何体不可能与其有两个视图相同，所以从选项看可排除A、B、C，选D．评注：本题主要考查空间中几个常见几何体的三视图，要求大家根据所给定的几何体能想象出相应的三视图．例2、（2008年广东高考）将正三棱柱截去三个角（如图a所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图b，则该几何体按图b所示方向的侧视图（或称左视图）为（）．解析：根据三视图的作法，即严格的平行投影，可过A、F、BC中点、DE中点作一中截面，然后作出B、E点在中截面上的投影即可，易得答案为A．评注：本题主要考查三视图的作法，注意理解平行投影的法则及三视图是严格的平行投影．题型二：给定三视图，求几何体的表面积例3、（2008年山东高考）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）．A.9B.10C.11D.12解析：根据三视图的形状大小，首先将其还原成几何体．易知该几何体由两部分构成，上部为一个半径为1的球，下部为一个底面半径为1，高为3的圆柱．故．答案选D．评注：几何体的还原是关键．这里要注意计算表面积的时候，不能漏掉上下底面的面积．题型三：给定三视图，求几何体的体积例4、（2007年海南高考）已知某个几何体的三视图如下所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）．A.B.C.D.解析：首先根据三视图，可以画出其直观图如图，该几何体为一个四棱锥．由俯视图可知四棱锥底面是一个边长为20的正方形，由正视图可知该四棱锥的高为20，故棱锥的体积为，选B。评注：本题主要考查由三视图作出直观图的能力，并与体积计算结合起来．题型四：三视图与不等式的交汇例5、（2008年海南高考）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）．A..B.C.4D.解析：根据三视图的平行投影的法则，由题意，可以把看成长方体的一条对角线，、a、b分别作为三个面的对角线．可得。∴，选C。评注：此题的关键在于把几何体的棱长与它的三个方向上的投影线段联系起来，形成一个整体（长方体）．这是三视图中出现的一种新的命题思路，应当引起重视．（此题用到不等式：若，则）
