【创新设计】高考数学一轮复习相似三角形的判定及有关性质训练理新人教A版选修4-1[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解平行线截割定理．2.会证明并应用直角三角形射影定理.以解答题形式考查，考查一般以基础知识为主，难度不大，如年新课标全国T22.[归纳·知识整合]1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．[探究]1.平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗？提示：正确．如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边，该命题正确．2．相似三角形的判定定理定理内容判定定理1两角对应相等，两三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3三边对应成比例，两三角形相似[探究]2.三角形相似是否具有传递性？提示：三角形相似具有传递性．3．相似三角形的性质定理定理与推论内容性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方4.直角三角形相似的判定定理定理内容判定定理1如果两个直角三角形一组锐角对应相等，那么它们相似判定定理2如果两个直角三角形的两直角边对应成比例，那么它们相似判定定理3斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似5．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．[自测·牛刀小试]1.如图所示，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶2，求AD∶BF.解： AB∥CD，∴＝＝＝，从而＝.又BC∥AD，∴＝＝，即AD∶BF＝5∶2.2.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D点，BC2＝BD·AB，求∠ACB.解： CD⊥AB，∴CDB＝90°. BC2＝BD·AB，∴＝，又∠B是公共角，∴△BDC∽△BCA，∴∠ACB＝∠CDB＝90°.3．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，求△MON与△AOC的面积的比．解： M、N分别是AB、BC的中点，∴＝，且MN∥AC，∴△MON∽△AOC.∴S△MON∶S△AOC＝1∶4.4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝6，DB＝5，求AD的长．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，设AD＝x，则AB＝x＋5，又AC＝6，∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36＝0，解得x＝4.∴AD＝4.5．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE·AB＝AF·AC.证明： AD⊥BC，∴△ADB为直角三角形．又 DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.平行线截割定理的应用[例1]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF.[自主解答] AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝. OE∥AD，∴＝＝.∴OE＝AD＝×12＝，同理可求得OF＝BC＝×20＝，∴EF＝OE＋OF＝15.本例条件不变，求证：OE＝OF.证明： EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC. EF∥BC，∴＝，＝. EF∥AD∥BC，∴＝.∴＝，∴OE＝OF.———————————————————平行线截割定理的作用平行线截割定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．1．已知E是正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE交CE于N，求证：MN＝MB.证明： MB∥AD，∴△BEM∽△AED.∴＝. MN∥AE∥CD，∴△MNE∽△DCE.∴＝.∴＝.又 AD＝CD，∴MN＝MB.相似三角形的判定与性质[例2]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE...
