考点四平面向量一、选择题1．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝()A．－B.C．－2D．2答案C解析因为a＝(1,2)，b＝(－2,3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.答案A解析因为AB＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝，故选A.3．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则实数k的值为()A．8B．－8C．4D．－4答案B解析由a与b不能作为一组基底，则a与b必共线，故＝，即k＝－8.故选B.4．(2019·湖南长沙一中一模)若非零向量a，b满足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，则a在b方向上的投影为()A．4B．8C.D.答案A解析由(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0得a·b＝＝＝8，从而a在b方向上的投影为＝＝4，故选A.5．(2019·福建龙岩模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB＝a，AD＝b，则向量BF＝()A.a＋bB．－a－bC．－a＋bD.a－b答案A解析由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点，得＝＝，则BF＝BE＝(BC＋CE)＝＝－a＋b，故选C.6．(2019·辽宁朝阳四模)已知P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，满足BP＝λBC(λ∈R)，若|AB|＝2，则AP·(AB＋AC)＝()A．2B．3C．6D．与λ有关的数值答案C解析设BC的中点为O，则|AO|＝，因为BP＝λBC(λ∈R)，所以点P在直线BC上，即AP在AO方向上的投影为|AO|，所以AP·(AB＋AC)＝2AO·AP＝2|AO|2＝6，故选C.7．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A.∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)C.D.答案A解析因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a，b不共线，即－2λ－1<0且－2＋λ≠0，故λ的取值范围是∪(2，＋∞)．8．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形答案A解析(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即CB·(AB＋AC)＝0， AB－AC＝CB，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形，故选A.二、填空题9．(2019·山东栖霞模拟)若向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，且(a＋b)⊥(a－b)，则a·b＝________.答案－3解析因为a＋b＝(0，x＋1)，a－b＝(4，x－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，所以0×4＋(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝1或x＝－1，因为向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，所以x＝－1不成立，即x＝1，所以a·b＝2×(－2)＋1×1＝－3.10．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，若a－b＝xe1＋ye2，则y＝________.答案－3解析由题图易得a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，则a－b＝(－e1－4e2)－(－2e1－e2)＝e1－3e2，所以x＝1，y＝－3.11．(2019·四川棠湖中学适应性考试)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，若点P满足PA＋PB＋PC＝0，则OP＝________.答案2解析因为PA＋PB＋PC＝0，所以P为△ABC的重心，故P的坐标为，即(2,2)，故|OP|＝2.12．(2019·山东德州二模)已知△ABC中，|BC|＝2，BA·BC＝－2.点P为BC边上的动点，则PC·(PA＋PB＋PC)的最小值为________．答案－解析以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B(－1,0)，C(1,0)，设P(a,0)，A(x，y)，由BA·BC＝－2，可得(x＋1，y)·(2,0)＝2x＋2＝－2，即x＝－2，y≠0，则PC·(PA＋PB＋PC)＝(1－a，0)·(x－a－1－a＋1－a，y＋0＋0)＝(1－a)(x－3a)＝(1－a)(－2－3a)＝3a2－a－2＝32－，当a＝时，PC·(PA＋PB＋PC)的最小值为－.三、解答题13．已知OA＝a，OB＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N.(1)用a，b表示向量MN；(2)设|a|＝1，|b|＝2，MN⊥OA，求a与b的夹角．解(1)由题意可得，AB是△SMN的中位线，故有MN＝2AB＝2(OB－OA)＝2(b－a)．(2)记a与b的夹角为θ，因为MN⊥OA，所以MN·OA＝0，即2(b－a)·a＝0，则b·a－a2＝0，所以|b|·|a|·cosθ－|a|2＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则2cosθ－1＝0，即cosθ＝，而θ∈[0，π]，所以θ＝.14．(2019...
