等差、等比数列的综合应用1.在等差数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a20－a10等于()A.B.C.或－D.或－2.(2012·蚌埠二中月考)某人为了观看2010南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为()A．a(1＋p)4B．a(1＋p)5C.[(1＋p)4－(1＋p)]D.[(1＋p)5－(1＋p)]3.设Sn表示等比数列{an}(n∈N*)的前n项和，已知＝3，则＝()A．3B．5C．7D．94.汶川大地震后，某单位于2008年8月向北川中学捐书三万册，计划以后每年比上一年多捐5000册，则5年共捐________万册．5.若数列{an}满足－＝d(n∈N*)，d为常数，则称数列{an}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝______．6.若数列{an}，{bn}中，a1＝3，b1＝0，n≥2时，an＝，bn＝，则数列{an＋bn}的前n项和为______．7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S19>0，S20<0，则，，…，中最大的项是()A.B.C.D.8.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，且a1＝b1>0，a3＝b3，b1≠b3，则一定有a2______b2，a5______b5(填“>”“<”“＝”)．9.(2013·合肥模拟)等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a52.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和．10.(2012·陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．1．C2.D3.C4.205.206.3n7．C解析：由题意S19＝＝19a10>0⇒a10>0；S20＝<0⇒a11<0，所以a1>0，d<0.数列为a1>a2>a3>…>a10>0>a11>…，易知(Sn)max＝S10，a10为正项最小值，所以为最大项．8．><解析：方法1：由中项性质和等比数列性质知b1>0，b3>0，又b1≠b3，a2＝＝>＝|b2|，故a2>b2；同理，a5＝2a3－a1，b5＝，所以b5－a5＝－(2b3－b1)＝＝>0，即b5>a5.方法2：通项与函数的关系．因为an＝dn＋(a1－d)为关于n的一次函数，bn＝a1·qn－1＝·qn为关于n的类指数函数．当d>0，如图1；当d<0时，如图2.易知a2>b2，a50)．因为a1，a3，a9成等比数列，所以a32＝a1a9，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，所以d2＝a1d.因为d>0，所以a1＝d.①因为S5＝a52，所以5a1＋·d＝(a1＋4d)2.②由①②解得a1＝d＝.所以an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)．(2)bn＝＝·＝(1＋－)．所以b1＋b2＋b3＋…＋b99＝(1＋1－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－)＝(99＋1－)＝275＋2.75＝277.75.10．解析：(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证法一：对任意k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．证法二：对任意k∈N＋，2Sk＝，Sk＋2＋Sk＋1＝＋＝，2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]＝(q2＋q－2)＝0，因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
