小题专练·作业(九)空间点、直线、平面之间的位置关系1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点。故选A。答案A2．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α。若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件。故选A。答案A3．(2018·惠州调研)设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，则下列命题中正确的个数是()①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n。A．1B．2C．3D．4解析对于①，若l⊥α，则l与α不可能平行，l也不可能在α内，所以l与α相交，①正确；对于②，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则有可能是l⊂α，故②错误；对于③，若l∥m，m∥n，则l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正确；对于④，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正确。故选C。答案C4．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β。有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β。其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α与β不一定垂直，不正确。故选B。答案B5．《九章算术》中，将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马。在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝2AD，则异面直线PC与BD所成角的正弦值为()A．B．C．D．解析如图，将阳马P－ABCD置于长方体中，连接PE，CE，有BD∥PE，则异面直线PC与BD所成的角即为∠CPE。设PD＝CD＝2AD＝2，则PE＝CE＝，PC＝2，在等腰三角形PCE中，cos∠CPE＝＝，则sin∠CPE＝。故选B。答案B6．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示，则关于该四棱锥的下列结论中不正确的是()A．四棱锥中至少有两组侧面互相垂直B．四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形C．四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面D．四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形解析四棱锥的直观图如图所示，其中顶点P在底面上的射影为底面正方形的边BC的中点E，连接PE。AB⊥BC，AB⊥PE，PE∩BC＝E，则AB⊥平面PBC，可得侧面PAB⊥侧面PBC，同理，侧面PCD⊥侧面PBC，故A正确；根据选项A，侧面PAB，PCD为直角三角形，只要调整四棱锥的高(为1)，使侧面PBC为等腰直角三角形，则侧面中就可能有三个直角三角形，B正确；其中侧面PAD与侧面PBC不可能垂直，证明如下：假设侧面PAD与侧面PBC垂直，因为BC∥AD，所以BC∥平面PAD，设平面PAD∩平面PBC＝l，根据直线与平面平行的性质定理可得BC∥l，PE⊥BC，得PE⊥l，根据两个平面垂直的性质定理，PE⊥平面PAD，由于PE⊥平面ABCD，所以平面PAD∥平面ABCD，与平面PAD∩平面ABCD＝AD矛盾，所以假设不成立，故侧面PAD与侧面PBC不可能垂直，C中的结论是正确的；若PB＝PC＝AB＝2，PA＝PD＝2，则四棱锥的四个侧面均是等腰三角形，故D中的结论不正确。故选D。答案D7．如图所示，正方形ABCD，正方形BDEF所在的平面互相垂直，给出下列结论：①BF与BE所成角的正切值为；②平面ADE内存在无数条直线与直线FC平行；③平面BDEF内的任意一条直线均垂直于直线AC；④直线AF与平面BDEF所成角的正弦值为。其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4解析记AC∩BD＝O，连接OF。①BF与BE所成的角即∠FBE，其正切值为＝1，①错误；②因为BF∥DE，B...
