课时限时检测(五十一)抛物线(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4【答案】D2．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2【答案】D3．(2013·四川高考)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是()A．2B．2C.D．1【答案】D4．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.B.C．(1,2)D．(1，－2)【答案】A5．(2013·课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4【答案】C6．(2013·大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若MA·MB＝0，则k＝()A.B.C.D．2【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是．【答案】x2＝12y8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为．【答案】x＝－19．(2013·江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝.【答案】6三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．【解】依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则直线方程为y＝－x＋p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋x2＋p＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程y2＝－4x.综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.11．(12分)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．【解】(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，∴p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设OC＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(13分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝4.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且MA＝aAF，MB＝bBF，对任意的直线l，a＋b是否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．【解】(1)联立方程得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴|ON|＝＝2p，由2p＝4得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y＝kx＋1，则直线l与x轴交点为M，记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－4＝0，∴Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)＞0，∴x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.由MA＝aAF，得＝a(－x1,1－y1)，∴a＝＝－，同理可得b＝－，∴a＋b＝－＝－＝－1，∴对任意的直线l，a＋b为定值－1.
