高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.1 推出与充分条件、必要条件课堂探究 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学试题VIP免费

1.3.1推出与充分条件、必要条件课堂探究探究一充分条件、必要条件的判断要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断．(1)判定“若p，则q”的真假．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．【典型例题1】在下列各题中，判断p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则p”的真假．解：(1)因为x－2＝0(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为m＜－2方程x2－x－m＝0无实根，而方程x2－x－m＝0无实根m＜－2，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为pq，而qp，所以p是q的充分不必要条件．探究二利用充分条件、必要条件求参数的范围解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决．【典型例题2】已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不等式组，求出m的范围．解：令命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，由x2－8x－20＜0，得(x－10)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜10，所以A＝{x|－2＜x＜10}．又由x2－2x＋1－m2＜0，得[x－(1＋m)][x－(1－m)]＜0，因为m＞0，所以1－m＜x＜1＋m，所以B＝{x|1－m＜x＜1＋m，m＞0}．1因为q是p的充分不必要条件，所以BA.所以且两等号不能同时成立．解得0＜m≤3.经检验知m＝3时符合题意．所以m的取值范围是(0,3]．规律小结用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：首先建立与p，q相对应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB，BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件探究三充要条件的证明与探求要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件．【典型例题3】已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论．证明：先证必要性：因为a＋b＝1，即b＝1－a，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.由ab≠0，即a≠0，且b≠0，所以a2－ab＋b2≠0，只有a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.【典型例题4】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解．解：①a＝0时，方程有一个负实根．②a≠0时，显然方程没有零根．若方程有两个异号的实根，则a＜0；2若方程有两个负实根，则解得0＜a≤1.综上知：若方程至少有一个负实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.点评若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由f(0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a＝0的特殊情况进行讨论．探究四易错辨析易错点充分条件、...