1.5.2二项式系数的性质及应用[A基础达标]1．若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A．210B．252C．462D．10解析：选A.由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.2．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于()A．4B．5C．6D．7解析：选C.令x＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有＝64，所以n＝6.3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝()A．32B．1C．－243D．1或－243解析：选B.展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·a5－r·xr，令r＝2，则a2＝(－1)2C·a3＝80，即a＝2，故(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1.4．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．45B．55C．70D．80解析：选C.因为(1＋)5＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，由已知可得41＋29＝a＋b，所以a＋b＝41＋29＝70.5．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A．2nB.C．2n＋1D.解析：选D.令x＝1得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n.①令x＝－1得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n.②①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，所以a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.6．设a∈Z，且0≤a<13，若512016＋a能被13整除，则a＝________．解析：由于51＝52－1，(52－1)2016＝C522016－C·522015＋…－C521＋1，又由于13能整除52，所以只需13能整除1＋a，又因为0≤a<13，所以a＝12.答案：127．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M，8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为________．解析：当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由题意得M·N＝64，所以2n＝64，n＝6.所以第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x.1答案：－160x8．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．解析：令x＝1，得a0＝－2.令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.答案：29．已知(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6.依题意有C·25＝C·26，解得n＝8.所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1120x4.设第(r＋1)项的系数最大，则有解得5≤r≤6.又r∈{0，1，2，…，8}，所以r＝5或r＝6.所以系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.10．证明：(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.证明：因为(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，所以(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn)·(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn)＝(1＋x)2n.而C是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理，得CC＋CC＋…＋CC＝C，因为C＝C(0≤m≤n)，所以(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.[B能力提升]1．若(1－2x)2017＝a0＋a1x＋…＋a2017x2017(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0C．－2D．－1解析：选D.(1－2x)2017＝a0＋a1x＋…＋a2017x2017，令x＝，则(1－2×)2017＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.2．C＋C＋…＋C＋…＋C的值为________．解析：(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n.令x＝1得C＋C＋C＋…＋C＋C＝22n；再令x＝－1得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0.两式相加，再由C＝1.得C＋C＋…＋C＝－1＝22n－1－1.答案：22n－1－13．(1)已知(1－x＋x2)3(1－2x2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a14x14，求a1＋a3＋a5＋…＋a13的值；(2)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b求m的值．2解：(1)设f(x)＝(1－x＋x2)3(1－2x2)4.令x＝1，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝1；令x＝－1，则f(－1)＝a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝27.则a1＋a3＋a5＋…＋a13＝＝＝－13.(2)根据二项式系数的性质，知(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为C＝a，而(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，则13×＝7×，解得m＝6.4．(选做题)如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16等于多少？解：由图可知数列的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C.所以S16＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)＝C＋C－1＝164.3
