高考数学 专题30 空间点、线、面的位置关系热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题30空间点、线、面的位置关系1．理解空间直线、平面位置关系的定义。2．了解可以作为推理依据的公理和定理。3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。热点题型一平面基本性质的应用例1、如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点。求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点。又A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1D1CB为平行四边形。∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1。∴EF与CD1确定一个平面。∴E、F、D1、C四点共面。【提分秘籍】证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面。(2)同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合。【举一反三】已知在空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝(如图所示)，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点。热点题型二异面直线的判定例2、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由。(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。解析：(1)不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。 M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1。又 A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1∥AC，得到MN∥AC。∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。【提分秘籍】异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。【举一反三】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线。其中正确的结论为__________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)热点题型三异面直线所成的角例3．如图所示，A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点。(1)若EF＝AD，求异面直线AD与BC所成的角；(2)若EF＝AD，求异面直线AD与BC所成的角。解析：设G是AC的中点，连结EG、FG。如图所示。 E、F分别是AB、CD的中点，∴EG∥BC且EG＝BC，FG∥AD且FG＝AD。 AD＝BC，∴EG＝FG＝AD，∴EG与FG所成的锐角(或直角)为AD与BC所成的角。【提分秘籍】1．求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点空间某特殊点)作平行线平移；补形平移。2．求异面直线所成角的三个步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线。(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角。(3)求：通过解三角形，求出该角。【举一反三】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：如图，取AB的中点E，连接B1E，1.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】2.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.（2）在平面内做，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.1.【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A)(B)(C)(D)【答案】A2.【2016高考新课标1...