第二讲不等式选讲1．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解析：(1)a＝1时，f(x)≥3x＋2，即|x－1|≥2，解得x≥3成x≤－1.故不等式的解集是.(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，此不等式化为不等式组或，即或.因为a>0，所以不等式的解集为{x|x≤－}，由题意得－＝－1，故a＝2.2．(2019·浉河区校级月考)已知a>0，b>0，＋＝2.求证：(1)a＋b≤2；(2)2≤a2＋b2<16.证明：(1)∵a>0，b>0，＋＝2，∴2≥2>0，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴0<≤1，∴a＋b＝(＋)＝2≤2.(2)∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，∴a＋b＝(＋)2－2＝4－2，∴a2＋b2＝16－16＋4ab－2ab＝2ab－16＋16＝2(ab－8＋16)－16＝2(－4)2－16＝2(4－)2－16，∵0<≤1，∴3≤4－<4，∴9≤(4－)2<16，∴2≤2(4－)2－16<16，故2≤a2＋b2<16.3．(2019·烟台一模)已知函数f(x)＝|2x－1|－m|x＋2|.(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥2的解集；(2)若存在实数m使得不等式f(x－2)>m在x∈[－1,1]恒成立，求m的取值范围．解析：(1)当m＝1时，|2x－1|－|x＋2|≥2，当x≤－2时，原不等式转化为1－2x＋x＋2≥2，解得x≤－2；当－2时，原不等式转化为2x－1－x－2≥2，解得x≥5；综上，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥5}．(2)由已知得：f(x－2)＝|2x－5|－m|x|>m，即m<.设g(x)＝，x∈[－1,1]，由题意m.综上可得，不等式的解集为.(2)若对任意的t∈R，s∈R，都有g(s)≥f(t)，可得g(x)min≥f(x)max.∵函数f(x)＝|2x＋1|－|2x－3|≤|2x＋1－(2x－3)|＝4，∴f(x)max＝4.∵g(x)＝|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－(x－a)|＝|a＋1|，故g(x)min＝|a＋1|.∴|a＋1|≥4，解得a≥3或a≤－5.故a的取值范围为{a|a≥3或a≤－5}．5．(2019·南昌模拟)设函数f(x)＝|2x－3|.(1)求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集；(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值．解析：(1)∵f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，∴当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，∴x>2；当－25，解得x<0，∴－25，解得x<－，∴x≤－2.综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)∵f(x)＝|2x－3|，∴g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|＝|4m|.∴依题意有4|m|＝4，解得m＝±1.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.解析：(1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.
