抛物线021．若a>0，且抛物线y2＝2ax与x2＝2ay的焦点间距离为1，则a＝()A．1B.C.D．22．动点P到点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1，则动点P的轨迹方程是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线3．点P在抛物线y2＝－2x上移动，点Q(2，－1)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是()A．(2y＋1)2＝4x－4B．(2y－1)2＝－4x＋4C．(2y＋1)2＝－4x＋4D．(2y－1)2＝4x－44．已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝2，则a＝________.5．若直线mx－y＋－1＝0(m>0，n>0)经过抛物线y2＝4x的焦点，则＋的最小值为()A．3＋2B．3＋C.D.6．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()A．x2＝4yB．x2＝－4yC．y2＝－12xD．x2＝－12y7．正数a、b的等差中项是、一个等比中项是2，且a>b，则抛物线y2＝－x的焦点坐标为()A.B.C.D.图K52－28．如图K52－2所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝xB．y2＝9xC．y2＝xD．y2＝3x9．以抛物线x2＝－4y的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是________________．10．若函数f(x)＝log2(x＋1)－1的零点是抛物线x＝ay2焦点的横坐标，则a＝________.11．已知P为抛物线y2＝4x上一点，设P到准线的距离为d1，P到点A(1,4)的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．12．(13分)已知圆C过定点F，且与直线x＝相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A、B两点．(1)求曲线E的方程；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．13．(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，n>0)上，所以有2m＋n＝2，于是＋＝(2m＋n)＝≥(2＋3)．故选C.6．D[解析]双曲线的焦点是(0,3)和(0，－3)，所以可设抛物线方程为x2＝±2py(p>0)，于是＝3，p＝6，所以抛物线方程为x2＝±12y.故选D.7．D[解析]正数a、b的等差中项是，所以a＋b＝9；又因为正数a、b的一个等比中项是2，所以ab＝(2)2＝20；而a>b，所以a＝5，b＝4.抛物线方程为y2＝－x，其焦点坐标为，故选D.8．D[解析]过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|.又2|BF|＝|BC|，所以在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又|AF|＝3，所以|AA′|＝3，所以|AC|＝6，|FC|＝3.所以焦点F到准线的距离为3sin30°＝3×＝，即p＝，所以故选D.9．x2＋y2＝4[解析]抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x2＋y2＝4.10.[解析]函数f(x)的零点是x＝1，将x＝ay2化为y2＝2×x，所以＝1，得a＝.11．4[解析]由抛物线定义得P到准线的距离d1等于点P到焦点F(1,0)的距离|PF|，又点A(1,4)在抛物线外部，所以当点P、A、F三点共线时，d1＋d2取得最小值|AF|，即最小值为4.12．[解答](1)由题意，点C到定点F和直线x＝的距离相等，∴点C的轨迹方程为y2＝－x.(2)由方程组消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理有y1＋y2＝－，y1y2＝－1.设直线l与x轴交于点N，则N(－1,0)．∵S△OAB＝S△OAN－S△OBN＝|ON||y1|－|ON||y2|，＝|ON||y1－y2|＝·1·＝.∵S△OAB＝，所以＝，解得k＝±.【难点突破】13．[解答](1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝.由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设OC＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
