命题角度4：导数与不等式1.已知函数在处取得极小值.（1）求实数的值；（2）当时，求证.【答案】（1）.（2）见解析【解析】试题分析：(1)求出的导数,,可得a的值;(2)求出的解析式,令,求得导数,令,进而得到的单调性,即有的最小值,即可得证.所以在处取得极小值，符合题意.所以.（2）由（1）知，∴.令，即.，由得.由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，∴所以在上最小值为.于是在上，都有.∴得证.2.已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）设，其中为的导函数．证明：对任意，．【答案】（1）；（2）单调递增区间为；单调递减区间为；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）求导可得；（2）由（1）知，．设,再利用导数工具进行求解；（3）由（2）可知，当时，，故只需证明在时成立,再利用导数工具进行证明．试题解析：（1），由已知，，．（2）由（1）知，．设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而，综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．综上，对任意，．考点：1、函数的导数；2、单调性；3、不等式的证明．【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想．利用导数处理不等式问题．在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题．常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用．3.已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；（2）证明：当且时，总有.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求定义域内的所有根；判断的根左右两侧值的符号即可得结果；（2）当时，，研究函数的单调性，两次求导，可证明在内为单调递增函数，进而可得当时，，即可得结果.（2）证法一：当时，.设函数，则.记，则.当变化时，，的变化情况如下表：由上表可知，而，由，知，所以，所以，即.所以在内为单调递增函数.所以当时，.即当且时，.所以当且时，总有.证法二：当时，.因为且，故只需证.当时，成立；当时，，即证.令，则由，得.在内，；在内，，所以.故当时，成立.综上得原不等式成立.4.已知，曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）证明：.【答案】（1）;（2）证明见解析；【解析】试题分析：（1）由切线方程得到，解得；（2）要证明，只需证即可，通过求导得到,得到在上单调递增，则存在满足，时，，当时，，则当时，取极小值，也是最小值，所以最小值为，.试题解析：解：（1）函数的定义域为，，由题意得，所以.（2）由（1）知，则，所以在上单调递增，又，所以在上有唯一的实数根，且，当时，，当时，，从而当时，取极小值，也是最小值，由，得，则，故，所以.5.已知函数，函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求证不等式.【答案】(1)g(x)的增区间，减区间;(2);(3)见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数的正负情况研究函数的单调性；（2）恒成立求参转化为恒成立，求到研究函数单调性和最值；（3）转化为在上恒成立。通过求导研究函数单调性，求得函数最值。（Ⅰ）g(x)的定义域为，，当时，在上恒成立所以g(x)的增区间，无减区间当时，令得令得所以g(x)的增区间，减区间.点睛：这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。6.设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若，则当时，数单调递减，当时，函数单调递增；②若，函数单调递增；③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)原问题即证明，构造新函数，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由，可知.因为...
