专题限时训练(九)三角形中的综合问题(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a＝2b，则的值为()A．－B.C．1D.答案：D解析：由正弦定理，可得＝22－1＝22－1，因为3a＝2b，所以＝，所以＝2×2－1＝.2．(2015·广西南宁二模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A＋sin2B＋sin2C＝，△ABC的面积S∈[1,2]，则下列不等式一定成立的是()A．ab(a＋b)>16B．bc(b＋c)>8C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24答案：B解析：依题意，得sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＋sin2C＝，展开并整理，得2sin(A＋B)cos(A－B)＋2sinCcosC＝，又sin(A＋B)＝sinC，cosC＝－cos(A＋B)，所以2sinCcos(A－B)＋2sinCcosC＝2sinC[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以4sinAsinBsinC＝，则sinAsinBsinC＝.又S＝absinC＝bcsinA＝casinB，因此S3＝a2b2c2·sinAsinBsinC＝a2b2c2.由1≤S≤2得1≤a2b2c2≤23，即8≤abc≤16，因此选项C，D不一定成立． b＋c>a>0，∴bc(b＋c)>bc·a≥8，即有bc(b＋c)>8，∴选项B一定成立． a＋b>c>0，∴ab(a＋b)>ab·c≥8，即有ab(a＋b)>8，∴选项A不一定成立．故选B.3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA，b2＋c2－a2＝bc，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形答案：C解析：因为b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝，因为A为三角形内角，所以A＝60°，所以a＝2bsinA＝b，利用正弦定理化简得sinA＝sinB，即sinB＝，所以B＝30°或B＝150°(不合题意，舍去)，所以C＝90°，即△ABC为直角三角形．4．如图，海岸线上有相距5nmile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3nmile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5nmile的C处，则两艘轮船之间的距离为()A.5nmileB．2nmileC.nmileD．3nmile答案：C解析：连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5nmile，AC＝5nmile，在△ACD中，AD＝3nmile,AC＝5nmile，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝nmile.5．(2015·河北衡水中学期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝5bsinC且cosA＝5cosBcosC，则tanA的值为()A．5B．6C．－4D．－6答案：B解析：由已知及正弦定理，得sinA＝5sinBsinC，①又cosA＝5cosBcosC，②由②－①，得cosA－sinA＝5(cosBcosC－sinBsinC)＝5cos(B＋C)＝－5cosA，∴sinA＝6cosA，∴tanA＝6.二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．答案：－解析：由已知及正弦定理，得2b＝3c.因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝＝－.7．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．答案：(－，＋)解析：如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF＜AB＜BE.在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝＝－.在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2，＝，∴BE＝×＝＋.∴－＜AB＜＋.8．(2015·广东佛山一模)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________.答案：解析：依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理，得AC＝＝2，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理，得BC＝＝3，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10，∴AB＝，即A，B两点之间的距离为.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．已知向量a＝与b＝(1，y)共线，设函数y＝f(x)．(1)求函数f(x)的周期及最大值；(2)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f＝，且a＝7，sinB＋sinC＝，求△ABC的面积．解：(1)因为a...
