第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系[基础题组练]1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．2．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.3．已知AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线解析：选B.如图，由于AB的长为定值，且△ABP的面积也是定值，因此空间中点P到直线AB的距离也为定值，从而可以推知点P在空间的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面，又点P在平面α内，且AB与平面α不垂直，故点P的轨迹应是该圆柱面被平面α截出的椭圆．4．(2020·瑞安四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．5．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，点E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()1A.B.C.D．2解析：选B.如图，取AC中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝＝＝.6．(2020·台州模拟)如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A.连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，所以A1，C1，A，C四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．所以A，M，O三点共线．7．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．2其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．答案：③④8．(2020·金丽衢十二校联考)如图所示，在三棱锥ABCD中，点E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD9．已知三棱锥ABCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为________．解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，MN，则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角)，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．①若∠MPN＝60°，因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.答案：60°或30°10．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦值的最大值是__________．解析：作BE∥AC，BE＝A...
