专题03导数与应用一、选择题1.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A．B．C．D．【答案】D2.【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为()A．B．C．D．【答案】D【解析】 ，∴，∴，解得，，解得，∴，∴，∴在递增，而，5.【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数，，若成立，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，，，∴，令，则，，∴是上的增函数，又，∴当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，3.【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】因为，所以函数在区间上单调递增，且所以当时，与有一个公共点；当时，令，即有一个解即可.设，则得.因为当时，当时，所以当时，有唯一的极小值，即有最小值，所以当时，有一个公共点.综上，实数的取值范围是.当时，，又在上单调递减，所以在上恒成立，则在上单调递减，又，所以在上恒成立.当时，，，又在上单调递减，所以存在，使得，所以在上，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立不可能.综上所述，.3.【河北省衡水中学2019届高三上学期六调】已知函数．（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时，．【答案】（1），没有零点，，存在唯一的零点；（2）证明见解析.【解析】（1）定义域为，的零点个数与的交点个数，①时，无交点，②时，有1个交点，③时，无交点（2）由（1）时，存在唯一，使，即，且时，单调递减，时，单调递增，∴，∴当时，4.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】已知函数（），.（1）当在处的切线与直线垂直时，方程有两相异实数根，求的取值范围；（2）若幂函数的图象关于轴对称，求使不等式在上恒成立的的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题设可得，令（）则令得.递减极小值递增 ，，，且有两个不等实根，∴，即∴又，①，即时，.所以在内单调递增，，所以②，即时，由在内单调递增，且 ，.∴使得.递减极小值递增所以的最小值为.又，所以.因此，要使当时，恒成立，只需，即即可.解得，此时，可得，以下求出的取值范围.∴在上单调递增，∴，从而，不符合题意．②若，当时，，在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴,从而在上，不符合题意；③若，则在上恒成立，∴在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，∴即在区间上单调递增，在区间上单调递减.且当时，，当时，，要使有两个不同的根，必有，解得∴实数的取值范围是.② ，∴又，∴，∴令，则，9.【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】已知函数(其中，是自然对数的底数).(1)若，当时，试比较与2的大小；(2)若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：.【答案】（1）（2）见解析（2）函数有两个极值点，则是的两个根，即方程有两个根，设，则，当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需，如图所示故实数的取值范围是又由上可知函数的两个极值点满足，由得.由于，故，所以10.【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（2）由题意得，，所以.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又，，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则解得.所以实数的取值范围为.11.【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】（1）（2）见解析（2）因为，所以，.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即当时，，所以在上单调递减.又因为所以当时，当时，于是对恒成立.12.【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数，，令.（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的...
