2.3.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，则实数a的值为()A.B．2C.D．4解析：由题意，得＝，所以a＝4.答案：D2．已知点P(3，－4)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)渐近线上的一点，E、F是左、右两个焦点，若EP·FP＝0，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：设E(－c，0)、F(c，0)，于是有EP·FP＝(3＋c，－4)·(3－c，－4)＝9－c2＋16＝0.于是c2＝25.排除A，B.又由D中双曲线的渐近线方程为y＝±x，点P不在其上排除D.答案：C3．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C．1D.答案：B4．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A.B.C.D.解析：在△ABP中，由正弦定理知＝＝＝＝.答案：A5．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，)B．(1，]C．(，＋∞)D．[，＋∞)解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2.所以e＝＝＞＝.答案：C二、填空题6．已知F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，若A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________．解析：因为A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4.而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5.两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A，P，F′三点共线时，等号成立．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.1答案：97．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率的最大值为________．解析：依据双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＋|PF2|＝≥2c，所以e＝≤，emax＝.答案：8．若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．则k的取值范围为________．答案：(1，)三、解答题9．过双曲线－＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．解：(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，所以c＝＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)．直线AB的方程为y＝(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得5x2＋6x－27＝0所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝×＝.(2)直线AB方程变形为x－3y－3＝0所以原点O到直线AB的距离为d＝＝所以S△AOB＝|AB|·d＝××＝.10．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2，0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|＝2|QF|，求直线l的方程．解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，所以所求的双曲线方程为x2－＝1.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2，0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0，2k)，因为|MQ|＝2|QF|且M，Q，F共线于l，所以MQ＝2QF或MQ＝－2QF.当MQ＝2QF时，xQ＝－，yQ＝k，所以Q的坐标为，因为Q在双曲线x2－＝1上，2所以－＝1，所以k＝±，所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．当MQ＝－2QF时，同理求得Q(－4，－2k)，代入双曲线方程得，16－＝1，所以k＝±，所以直线l的方程为y＝±(x＋2)，综上，所求的直线l的方程为y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．B级能力提升1．P是双曲线－＝1上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值(a＞0，b＞0)等于()A．4B．7C．6D．5答案：B2．直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则－＝1，①－＝1，②两式相减得＝，所以＝，所以＝＝k0·k1＝1，所以a2＝b2，即a＝b，所以e＝＝＝.答案：3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上...
