第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.3二项式定理练习理[A组·基础达标练]1．若n的展开式中第四项为常数项，则n等于()A．4B．5C．6D．7答案B解析展开式中的第四项为T4＝C()n－3(－1)3·3＝3Cx，由题意得＝0，解得n＝5.2．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30B．20C．15D．10答案C解析x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6展开式中x2项的系数相同，故其系数为C＝15.3.5展开式中，二项式系数最大的项为()A．第2项B．第3项C．第3项或第4项D．第5项答案C解析因为n＝5，二项展开式共6项，所以第3项或第4项的二项式系数最大，故选C.4．二项式(x＋a)n(a是常数)展开式中各项二项式的系数和为32，各项系数和为243，则展开式中的第4项为()A．80x2B．80xC．10x4D．40x3答案A解析(x＋a)n展开式中各项二项式系数和为2n＝32，解得n＝5，令x＝1，得各项系数和为(1＋a)5＝243，故a＝2，所以展开式的第4项为Cx2a3＝Cx2·23＝80x2.5．[2016·合肥质检]若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为()A．1或－3B．－1或3C．1D．－3答案A解析令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或m＝－3.6．若5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为()A．－40B．－20C．20D．40答案D解析令x＝1，即可得到5的展开式中各项系数的和为1＋a＝2，所以a＝1，5＝5，要找其展开式中的常数项，需要找5的展开式中的x和，由通项公式得Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r·25－rCx5－2r，令5－2r＝±1，得到r＝2或r＝3，所以有80x和－项，分别与和x相乘，再相加，即得该展开式中的常数项为80－40＝40.7．[2016·温州调研]6的展开式中的常数项是________．答案解析二项式6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()6－rr＝rCx3－，∴当r＝2时，Tr＋1是常数项，此时T3＝.8．在(1－x)5＋(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是________．答案－30解析因为(1－x)5中x3的系数为C(－1)3，(1－x)6中x3的系数为C(－1)3，故C(－1)3＋C(－1)3＝－30.9．设x6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a1＋a2＋a3＋…＋a6＝________.1答案－1解析令x＝－1，可得a0＝1，再令x＝0，可得1＋a1＋a2＋…＋a6＝0，所以a1＋a2＋…＋a6＝－1.10．已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解(1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，∴T8的系数为C727＝3432.(2) C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0，∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大， 12＝12(1＋4x)12，∴解得≤k≤. k∈N，∴k＝10，∴展开式中系数最大的项为T11，T11＝C·2·210·x10＝16896x10.[B组·能力提升练]1．[2016·保定调研]已知a＝2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为()A．10B．－10C．80D．－80答案D解析(先求出a值，再用通项求解)a＝2cosdx＝2sin＝2＝－2，∴5的通项Tr＋1＝C(x2)5－r·r＝(－2)rC·x10－3r，令10－3r＝1，∴r＝3.∴展开式中x的系数为(－2)3·C＝－8C＝－80.2．[2015·北京一模]设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋…＋a2nx2n，则a2＋a4＋…＋a2n的值为()A.B.C．3n－2D．3n答案B解析(赋值法)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝3n.①再令x＝－1得，a0－a1＋a2＋…－a2n－1＋a2n＝1.②令x＝0得a0＝1.由①＋②得2(a0＋a2＋…＋a2n)＝3n＋1，∴a0＋a2＋…＋a2n＝，∴a2＋a4＋…＋a2n＝－a0＝－1＝.3．在(1－x2)20的展开式中，如果第4r项与第r＋2项的二项式系数相等，则r＝________.答案42解析由题意可得C＝C，故4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，即r＝或r＝4，因为r为整数，故r＝4.4．已知5的展开式中的常数项为T，f(x)是以T为周期的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x...
