高考数学二轮复习 第一部分 题型专项练 压轴题提分练（四）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

压轴题提分练(四)1．(2018·贵阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，点P为椭圆C上的动点，若|PF|的最大值和最小值分别为2＋和2－.(1)求椭圆C的方程；(2)设不过原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值．解析：(1)由已知得：⇒，∴b2＝4－3＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)设l：y＝kx＋b(易知l存在斜率，且b≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)由条件知：k2＝＝＝＝k2＋∴＝0，∴x1＋x2＝－，①⇒(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，∵Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＞0，∴4k2＋1－b2＞0，∴x1＋x2＝－，②联立①②得：－＝－，∴4k2＝1，|PQ|＝＝＝＝.点O到直线l的距离d＝＝，∴S△OPQ＝|PQ|·d＝××＝|b|＝＝.∵4k2＝1且4k2＋1－b2＞0，∴0＜b2＜2，所以当⇒⇒直线l为：y＝±x±1时，(S△OPQ)max＝1.2．(2018·保定模拟)已知函数f(x)＝ax－lnx．(a是常数，且a＞0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当y＝f(x)在x＝1处取得极值时，若关于x的方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．解析：(1)由已知函数f(x)的定义域为x＞0，f′(x)＝a－＝，由f′(x)＞0得x＞，由f′(x)＜0，得0＜x＜.所以函数f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(2)由题意，得f′(1)＝0.∴a＝1，∴f(x)＝x－lnx，∴f(x)＋2x＝x2＋b，即x－lnx＋2x＝x2＋b.∴x2－3x＋lnx＋b＝0，设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)，则g′(x)＝2x－3＋＝＝.当x∈时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2g′(x)0－0＋g(x)b－－ln2b－2b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有两个不相等的实数根，∴∴，∴＋ln2≤b＜2即b∈.