第2讲函数的单调性与最值一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是()．A．y＝x2B．y＝|x|＋1C．y＝－lg|x|D．y＝2|x|解析对于C中函数，当x>0时，y＝－lgx，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg|x|为偶函数．答案C2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.答案D3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析 y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．答案B4．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()．A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]解析g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.答案B5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1]C．(－∞，0)D．(－∞，－1]解析二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．答案C6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数1f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为()．A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析f(x)＝⇔f(x)＝f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．答案C二、填空题7．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.解析 函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1.当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.综上，g(a)＝答案8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是_______．解析y＝－(x－3)|x|＝作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.答案9．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．解析①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0＜a≤；③当a＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是.答案10．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.其中正确命题的序号是____________．解析根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在上恒成立，则2a×－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．答案①③④三、解答题11．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单调区间．2解当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；当0
x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．解(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(...
