2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3.2抛物线的几何性质对点训练理1．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.B.C.D.答案A解析由题可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA2⊥y轴于点A2，过B作BB2⊥y轴于点B2，则＝＝＝.2.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝()A.B．3C.D．2答案B解析如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4.1过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|.由题意，得△PHQ∽△PMF，则有＝＝，∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－答案C解析由点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2,0)，∴kAF＝＝－，故选C.4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案C解析设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知44，所以y0>2.故选C.5．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．答案解析由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限，由，解得或，故A.所以kAF＝＝.由已知F为△OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF·＝－1，即×＝－1，整理得b2＝a2，所以c2＝a2＋b2＝a2，故c＝a，即e＝＝.6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．答案x＝－2解析∵c2＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，∴＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－2.7．已知A是抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B(点B在x轴上方)，若|AB|＝2|AF|，则点A的坐标为________．答案(3，－2)或解析依题意，①若点A位于x轴上方，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有|AB|＝2|AF|＝2|AA1|，∠BAA1＝60°，直线AF的倾斜角为120°.又点F(1,0)，因此直线AF：y＝－(x－1)．2由得，此时点A的坐标是.②若点A位于x轴下方，则此时点F(1,0)是线段AB的中点，又点B的横坐标是－1，故点A的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y＝－＝－2，点A的坐标是(3，－2)．综上所述，点A的坐标是(3，－2)或.8．已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF＝3FM.(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；(2)求△ABP面积的最大值．解(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(2，2)或P(－2，2)．由PF＝3FM，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．由得x2－4kx－4m＝0.于是Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2＋m)．由PF＝3FM，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，所以由x＝4y0得k2＝－m＋.由Δ>0，k2≥0，得－f.所以，当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±.所以，△ABP面积的最大值为.9．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|＝2，求k的值；(3)设点P的轨迹是曲线C，点Q(1，y0)是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C的切线方程．解(1)过P作x轴的垂线且垂足为N，则|PN|＝y，由题意可知|PM|－|PN|＝，∴＝y＋，化简得x2＝2y(y≥0)，即为所求．3(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，|AB|＝＝＝2，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.(3)因为Q(1，y0)是曲线C上一点，∴12＝2y0，∴y0＝，∴切点为，由y＝x2，求导得y′＝x，∴当x＝1时，k＝1.则切线方程为y－＝x－1，即2x－2y－1＝0.4
