课时提升作业(十二)双曲线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知F1(-8,3),F2(2,3)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线【解析】选D.易得|F1F2|=10.当a=3时,2a=6,即2a<|F1F2|,所以P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2).当a=5时,2a=10,即2a=|F1F2|,此时P,F1,F2共线.所以P点的轨迹是以F2为起点的一条射线.2.(2015·福建高考)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【解析】选B.因为=2a,所以-=±6,所以=9或-3(舍去).3.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线【解析】选D.方程mx2-my2=n可化为:-=1,因为mn<0,所以->0,所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.4.(2015·吉首高二检测)椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是()A.±1B.1C.-1D.不存在【解析】选A.方法一:直接法:显然双曲线焦点在x轴上,1故4-m2=m2+2.所以m2=1,即m=±1.方法二:验证法:当m=±1时,m2=1,对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,故当m=±1时,它们有相同的焦点.【误区警示】本题在求解时常常因为混淆椭圆与双曲线的数量关系导致错误.5.(2015·三明高二检测)已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是()A.16B.18C.21D.26【解题指南】借助双曲线的定义求解,注意点A,B的位置.【解析】选D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点P(2,-3)是双曲线-=1(a>0,b>0)上一点,双曲线两个焦点间的距离等于4,则该双曲线方程是.【解析】由题意知c=2,设该双曲线方程是-=1,把点P(2,-3)代入,得-=1,解得a2=1或a2=16(舍).所以该双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=17.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k=.【解题指南】先化双曲线方程为标准形式,再借助a,b,c的关系求解.【解析】方程可化为-=1,由焦点在y轴上,得a2=-,b2=-.所以c2=-,所以9=-,所以k=-1.2答案:-18.(2015·潍坊高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.【解析】由题意可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由·=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.答案:-y2=1【拓展延伸】与双曲线定义相关问题的解法利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2||=2a的变形的使用,特别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|·|PF2|间的关系;二是要与三角形知识相结合,如勾股定理、余弦定理、正弦定理等,同时要注意整体思想的应用.三、解答题(每小题10分,共20分)9.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P,Q且焦点在坐标轴上.(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.【解析】(1)设双曲线方程为-=1,因为P,Q两点在双曲线上,所以解得所以所求双曲线方程为+=1,即-=1.3(2)因为焦点在x轴上,c=,所以设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6).因为双曲线经过点(-5,2),所以-=1,所以λ=5或λ=30(舍去),所以所求双曲线的方程是-y2=1.10.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.【解题指南】由双曲线定义可知||PM|-|PN||=2a,|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN的边长是关键.【解析】因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由|PM|-|PN|=4得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20得2c=20,c=10.所以b2=c2-a2=96,所以所求双曲线方程为-=1.4(20分钟40分)一、选择题(每小...
