高考数学复习点拨 深入浅出推导距离公式VIP免费

深入浅出推导距离公式建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量出一块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线的长度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测量（如图1，图2）．如果有三块砖，按照图1（1）的方式码放，可以测量AC的长度；如果有两块砖，按照图1（2）的方式码放，也可以测量AC的长度．那么如果一块砖的长、宽、高分别为abc，，，我们是否可以计算出对角线AC的长度（如图2（1））呢？在ABCRt△中，由勾股定理可知，22ACab如图（2（2））．而在ACCRt△中，222ACabc如图（2（3））．一般地，如果长方体的长、宽、高分别为abc，，，那么对角线长222dabc．（）那么给出空间两点111222()()AxyzBxyz，，，，，，如何利用点的坐标求它们的距离？如果这两点中，一个是原点(000)O，，，另一点不在坐标平面上，设为000()Pxyz，，，则作一个棱在坐标轴上，以OP，为顶点的长方体（如图3），OP，两点的距离就是长方体体对角线的长，根据公式，只需求出长方体的长、宽、高，使可求出OP的长．易知，ABC，，的坐标分别为000(00)(00)(00)AxByCz，，，，，，，，，所以000OAxx，同理有000OCzz，000OByy．于是222222000OPOAOBOCxyz．对于空间任意两点111222()()AxyzBxyz，，，，，，我们作长方体（如图4），AB是长方体的对角线，长方体的每一条棱都与坐标轴平行．为了求AB的长，我们只需求出ACCD，和DB的长，易知CD，两点坐标分别为用心爱心专心121221()()xyzxyz，，，，，由于AC平行于y轴，所以12ACyy，同理有1212CDxxDBzz，．再利用公式（），就有222ABACCDDB，即222121212()()()ABxxyyzz，这就是空间两点间的距离公式．下面我们用所推导的空间两点间的距离公式来做两道题吧！例1求空间两点12(325)(601)PP，，，，，间的距离12PP．解：利用两点间距离公式，得22212(63)[0(2)](15)94367PP．例2平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为221xy，在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程．解：与坐标原点的距离为1的点()Pxyz，，的轨迹是一个球面，满足1OP，即2221xyz．因此2221xyz，这就是所求的球面方程．用心爱心专心