高中数学 4.2 曲线的极坐标方程 4.2.2 常用曲线的极坐标方程同步测控 苏教版选修4-4-苏教版高二选修4-4数学试题VIP免费

4.2.2常用曲线的极坐标方程同步测控我夯基，我达标1.在极坐标系中，曲线ρ=4cos(θ-3)关于（）A.直线θ=6对称B.直线θ=65对称C.点（2,3)中心对称D.极点中心对称解析：由曲线方程知，它是以（2,3)为圆心，2为半径的圆.所以C正确.答案：C2.下列方程各表示什么曲线？(1)y=a，答_______________；(2)ρ=a，答_______________；(3)θ=α，答_______________.解析：方程表示什么样的曲线,主要看清楚方程的形式,找到方程中的变量之间的关系.当然,我们首先得熟悉直角坐标系下的特殊曲线方程.(1)在直角坐标系下,y=a表示与x轴平行或重合的直线；(2)在极坐标系下,ρ=a表示圆心在极点,半径为a的圆；(3)在极坐标系下,θ=α表示过极点,倾斜角为α的射线.答案：（1）与x轴平行的直线（2）圆心在极点，半径为a的圆（3）过极点且倾斜角为α的射线3.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,6)到直线l的距离为_______________解析：l的极坐标方程为ρsinθ=3,∴l的直角坐标方程为y=3.点(2,6)的直角坐标为(3,1).∴点(2,6)到l的距离为2.答案：24.画出极坐标方程为(θ-4)ρ+(4-θ)sinθ=0的图形.解析：若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,合并在一起即为所求方程的曲线.解：将原方程分解因式，得(θ-4)(ρ-sinθ)=0,∴θ-4=0或ρ-sinθ=0.1θ=4时，为一条射线；ρ-sinθ=0时，为一个圆（如图）.5.求出下列直线的极坐标方程.（1）过两个定点P1（ρ1,θ1)和P2（ρ2，θ2）；（2）过定点M（ρ0，θ0），关于极轴的倾角为α；（3）过定点M（ρ0，θ0），且与直线θ=θ0垂直.思路分析：在所给直线上任取一点P（ρ，θ），建立关于ρ、θ的一个方程即可.解：（1）若θ1=θ2+nπ,则P1、P2与极点共线，方程为θ=θ1；现设θ1≠θ2+nπ(n∈Z)，P（ρ,θ)为直线P1P2上任意一点（如图），则S△OP2P1=S△OPP1+S△P2PO，即21ρ1ρ2sin(θ1-θ2)=21ρ1ρsin(θ1-θ)+21ρ2ρsin(θ-θ2).由于θ1≠θ2+nπ(n∈Z),则直线不过极点，即ρρ1ρ2≠0，故122122)sin()sin()sin((2)设P(ρ,θ)为直线上任意一点（如图），且记∠OPM=∠1，∠OMP=∠2，则∠1=α-θ,∠2=π-(α-θ0).在△OMP中应用正弦定理，有1sin2sin0,即ρ=ρ0·1sin2sin=ρ0·)sin()sin(0，即直线方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).(3)设P（ρ,θ)为直线上任意一点（如图），由△OMP为直角三角形，显然有ρcos(θ-θ0)=ρ0.这就是所求的直线方程.6.求圆心在点（a,2)处且过极点的圆的方程.思路分析： ρ=a,θ0=2,又 r=a,∴可以直接代入圆的极坐标方程，也可以数形结合求圆的方程.2解：如图，OP⊥Ox于点P,在圆上任取一点M（ρ，θ），连结OM和MP，则OM⊥MP.在Rt△OMP中，ρ=2acos(2-θ)=2asinθ,故该圆的方程为ρ=2asinθ,0≤θ≤π.7.已知双曲线的极坐标方程为ρ=cos213，过极点作直线与它交于A、B两点，且|AB|=6，求直线AB的极坐标方程.思路分析：直线和圆锥曲线的相交问题，通常采用设而不求的方法优化解题过程，即设出交点A、B的坐标，根据内在联系解决问题.解：设直线AB的极坐标方程为θ=θ1,则A（ρ1,θ1),B(ρ2,θ1+π)，ρ1=1cos213,ρ2=11cos13)cos(213.∴|AB|=|ρ1+ρ2|=|11cos13cos213|=|12cos416|.∴12cos416=±6.∴cosθ1=0或cosθ1=±22.故直线AB的极坐标方程为θ=2,或θ=4，θ=43.我综合,我发展8.极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（）A.2B.2C.1D.22解析：本题有两种解法.第一种解法直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是(21,0)和(21,2),这两点间的距离是22.第二种解法是将方程化为直角坐标方程,因为ρ不恒为0,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcosθ和ρ2=ρsinθ,极坐标方程化直角坐标方程为x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是(21,0),(0,21),圆心距是22.答案：D9.两条直线ρcos(θ-α)=a与ρsin(θ-α)=a的位置关系是（θ为极角，α为常量）（）A.平行B.垂直C.重合D.平行或重3...