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高中数学 4.2 曲线的极坐标方程 4.2.2 常用曲线的极坐标方程同步测控 苏教版选修4-4-苏教版高二选修4-4数学试题VIP免费

高中数学 4.2 曲线的极坐标方程 4.2.2 常用曲线的极坐标方程同步测控 苏教版选修4-4-苏教版高二选修4-4数学试题_第1页
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4.2.2常用曲线的极坐标方程同步测控我夯基,我达标1.在极坐标系中,曲线ρ=4cos(θ-3)关于()A.直线θ=6对称B.直线θ=65对称C.点(2,3)中心对称D.极点中心对称解析:由曲线方程知,它是以(2,3)为圆心,2为半径的圆.所以C正确.答案:C2.下列方程各表示什么曲线?(1)y=a,答_______________;(2)ρ=a,答_______________;(3)θ=α,答_______________.解析:方程表示什么样的曲线,主要看清楚方程的形式,找到方程中的变量之间的关系.当然,我们首先得熟悉直角坐标系下的特殊曲线方程.(1)在直角坐标系下,y=a表示与x轴平行或重合的直线;(2)在极坐标系下,ρ=a表示圆心在极点,半径为a的圆;(3)在极坐标系下,θ=α表示过极点,倾斜角为α的射线.答案:(1)与x轴平行的直线(2)圆心在极点,半径为a的圆(3)过极点且倾斜角为α的射线3.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,6)到直线l的距离为_______________解析:l的极坐标方程为ρsinθ=3,∴l的直角坐标方程为y=3.点(2,6)的直角坐标为(3,1).∴点(2,6)到l的距离为2.答案:24.画出极坐标方程为(θ-4)ρ+(4-θ)sinθ=0的图形.解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,合并在一起即为所求方程的曲线.解:将原方程分解因式,得(θ-4)(ρ-sinθ)=0,∴θ-4=0或ρ-sinθ=0.1θ=4时,为一条射线;ρ-sinθ=0时,为一个圆(如图).5.求出下列直线的极坐标方程.(1)过两个定点P1(ρ1,θ1)和P2(ρ2,θ2);(2)过定点M(ρ0,θ0),关于极轴的倾角为α;(3)过定点M(ρ0,θ0),且与直线θ=θ0垂直.思路分析:在所给直线上任取一点P(ρ,θ),建立关于ρ、θ的一个方程即可.解:(1)若θ1=θ2+nπ,则P1、P2与极点共线,方程为θ=θ1;现设θ1≠θ2+nπ(n∈Z),P(ρ,θ)为直线P1P2上任意一点(如图),则S△OP2P1=S△OPP1+S△P2PO,即21ρ1ρ2sin(θ1-θ2)=21ρ1ρsin(θ1-θ)+21ρ2ρsin(θ-θ2).由于θ1≠θ2+nπ(n∈Z),则直线不过极点,即ρρ1ρ2≠0,故122122)sin()sin()sin((2)设P(ρ,θ)为直线上任意一点(如图),且记∠OPM=∠1,∠OMP=∠2,则∠1=α-θ,∠2=π-(α-θ0).在△OMP中应用正弦定理,有1sin2sin0,即ρ=ρ0·1sin2sin=ρ0·)sin()sin(0,即直线方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).(3)设P(ρ,θ)为直线上任意一点(如图),由△OMP为直角三角形,显然有ρcos(θ-θ0)=ρ0.这就是所求的直线方程.6.求圆心在点(a,2)处且过极点的圆的方程.思路分析: ρ=a,θ0=2,又 r=a,∴可以直接代入圆的极坐标方程,也可以数形结合求圆的方程.2解:如图,OP⊥Ox于点P,在圆上任取一点M(ρ,θ),连结OM和MP,则OM⊥MP.在Rt△OMP中,ρ=2acos(2-θ)=2asinθ,故该圆的方程为ρ=2asinθ,0≤θ≤π.7.已知双曲线的极坐标方程为ρ=cos213,过极点作直线与它交于A、B两点,且|AB|=6,求直线AB的极坐标方程.思路分析:直线和圆锥曲线的相交问题,通常采用设而不求的方法优化解题过程,即设出交点A、B的坐标,根据内在联系解决问题.解:设直线AB的极坐标方程为θ=θ1,则A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ1+π),ρ1=1cos213,ρ2=11cos13)cos(213.∴|AB|=|ρ1+ρ2|=|11cos13cos213|=|12cos416|.∴12cos416=±6.∴cosθ1=0或cosθ1=±22.故直线AB的极坐标方程为θ=2,或θ=4,θ=43.我综合,我发展8.极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是()A.2B.2C.1D.22解析:本题有两种解法.第一种解法直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是(21,0)和(21,2),这两点间的距离是22.第二种解法是将方程化为直角坐标方程,因为ρ不恒为0,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcosθ和ρ2=ρsinθ,极坐标方程化直角坐标方程为x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是(21,0),(0,21),圆心距是22.答案:D9.两条直线ρcos(θ-α)=a与ρsin(θ-α)=a的位置关系是(θ为极角,α为常量)()A.平行B.垂直C.重合D.平行或重3...

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