2.3函数的奇偶性与周期性[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·重庆测试)下列函数为奇函数的是()A．y＝x3＋3x2B．y＝C．y＝xsinxD．y＝log2答案D解析函数y＝x3＋3x2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A；函数y＝是偶函数，排除B；函数y＝xsinx是偶函数，排除C；函数y＝log2的定义域是(－3,3)，且f(－x)＝log2＝－f(x)，是奇函数，D正确．故选D.2．下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝2|x|C．f(x)＝log2D．f(x)＝sinx答案C解析函数f(x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，排除A；当x∈(－∞，0)时，函数f(x)＝2|x|＝x在(－∞，0)上单调递减，排除B；当x∈(－∞，0)时，函数f(x)＝log2＝－log2(－x)在(－∞，0)上单调递增，且函数f(x)在其定义域内是偶函数，C正确；函数f(x)＝sinx是奇函数，排除D.故选C.3．(2017·唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)．则当x<0时，f(x)＝()A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)答案C解析当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)， f(x)是R上的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．故选C.4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝()A．－0.5B．0.5C．－2.5D．2.5答案D解析 f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．∴函数f(x)的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． 2≤2.5≤3，∴f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.故选D.5．(2017·金版创新)已知函数f(x)在∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝2x，则f(2017)等于()A.B．－C．1D．－1答案B解析由f(x－2)＝－f(x)，得f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－.故选B.6．(2018·青岛模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为()A．2B．1C．－1D．－2答案A解析 f(x＋1)为偶函数，f(x)是R上的奇函数，1∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，故4为函数f(x)的周期，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.故选A.7．(2018·襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2018)＝()A．－2B．－1C．0D．2答案D解析因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，所以当x>0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(2018)＝f(1)，又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.故选D.8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2018)的值为()A．2B．0C．－2D．±2答案A解析 f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.∴f(2018)＝f(2)＝2.故选A.9．(2017·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0)D．(－1,2)答案A解析 f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)， f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，解得－1
