第24讲三角函数解析式的求法【知识要点】三角函数的解析式的求法一般有三种：待定系数法、图像变换法和代入法.【方法讲评】方法一待定系数法使用情景一般知道函数的图像或图像的特征.解题步骤一般先设出三角函数的解析式，再求待定系数，最值确定函数的,周期确定函数的,非平衡位置的点确定函数的.【例1】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若，求的值.（2）由（1）得所以，又得所以，.【点评】利用待定系数法求三角函数的解析式，需要建立关于各个待定系数的方程，这需要对函数的图像和性质理解透彻，如：图像上相邻两个最高点的距离为，就是说函数的最小正周期是，而不是2.如果方程错了，待定系数的值也自然是错的.【反馈检测1】已知函数的一段图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）函数在轴右侧的极小值点的横坐标组成数列，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项，试求数列的前项和．方法二图像变换法使用情景一般涉及通过对一个已知函数的图像进行变换得到一个新的函数.解题步骤一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.【例2】已知函数,其中常数．(1)令,求函数的单调区间；(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再往上平移个单位,得到函数的图像．对任意的,求在区间上零点个数的所有可能值．【点评】利用图像变换法求函数的解析式时，要对函数图像变换（平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换）比较熟练，不要出错.【反馈检测2】已知函数的周期为,且,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）,再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.（1）求函数与的解析式；（2）是否存在,使得按照某种顺序成等差数列？若存在,请求出的值，若不存在,说明理由；（3）求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点．方法三代入法使用情景一般知道函数的一部分图像或图像的特征，求另外对称的一半的解析式.解题步骤一般先在所求的函数的图像上任意取一点，再求出点的对称点，再把点的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.【例3】定义在区间上的函数的图象关于直线对称,当时函数图象如图所示．(1)求函数在的表达式；(2)求方程的解；(3)是否存在常数的值,使得在上恒成立;若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由．(2)当时,∴即,当时,∴∴方程的解集是【点评】(1)这种方法关键在于理解，这种处理方法有点类似求轨迹方程里的“代入法”.可以把已知的图像上的点看作“主动点”，对称图像上的点看作是“被动点”，这样就好理解些了.(2)求对称点的坐标时，一般利用对称的知识列方程求解，不要算错了.【反馈检测3】设函数(－)－．(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数与的图象关于点对称，求当时，函数的值域．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第24讲：三角函数解析式的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）.【反馈检测2答案】（1），；（2）不存在；（3），.【反馈检测2详细解析】（1）由函数的周期为可得，，又由，得，所以；将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（保持纵坐标不变）后可得的图像，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数.（3）令，即，当时，显然不成立；当时，，令，则当时，.由函数及，的图像可知，当时，在内有3个解.再由可知，，综上所述，，.【反馈检测3答案】（1）,单调递增区间为[－，＋]，；（2）值域为.【反馈检测3详细解析】(1)由题意知＝sin－cos－1＝sin(－)－1，所以的最小正周期＝＝6．由－≤－≤＋，，得－≤≤＋，，所以的单调递增区间为[－，＋]，．(2)因为函数与的图象关于直线对称，设点是函数图像上一点，则其关于点（0,1）对称的点必在函数的图像上，所以=所以-所以函数的值域为.
