高考数学二轮复习 规范答题示例1 函数的单调性、极值与最值问题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

规范答题示例1函数的单调性、极值与最值问题典例1(12分)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．审题路线图――――→―→―→.规范解答·分步得分构建答题模板解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.5分所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f＞2a－2等价于lna＋a－1＜0.9分令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1).12分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数．第二步定符号：通过讨论确定f′(x)的符号．第三步写区间：利用f′(x)的符号写出函数的单调区间．第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则(1)函数求导正确给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝lna＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．跟踪演练1(2017·山东)已知函数f(x)＝x2＋2cosx，g(x)＝ex(cosx－sinx＋2x－2)，其中e＝2.71828…是自然对数的底数．(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解(1)由题意知f(π)＝π2－2.又f′(x)＝2x－2sinx，所以f′(π)＝2π.所以曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为y－(π2－2)＝2π(x－π)．即2πx－y－π2－2＝0.(2)由题意得h(x)＝ex(cosx－sinx＋2x－2)－a(x2＋2cosx)，h′(x)＝ex(cosx－sinx＋2x－2)＋ex(－sinx－cosx＋2)－a(2x－2sinx)＝2ex(x－sinx)－2a(x－sinx)＝2(ex－a)(x－sinx)．令m(x)＝x－sinx，则m′(x)＝1－cosx≥0，所以m(x)在R上单调递增．因为m(0)＝0，所以当x＞0时，m(x)＞0；当x＜0时，m(x)＜0.①当a≤0时，ex－a＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以当x＝0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1.②当a＞0时，h′(x)＝2(ex－elna)(x－sinx)，由h′(x)＝0，得x1＝lna，x2＝0.(i)当0＜a＜1时，lna＜0，当x∈(－∞，lna)时，ex－elna＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(lna,0)时，ex－elna＞0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，ex－elna＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝lna时，h(x)取到极大值，极大值是h(lna)＝－a[(lna)2－2lna＋sin(lna)＋cos(lna)＋2]．当x＝0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；(ii)当a＝1时，lna＝0，所以当x∈(－∞，＋∞)时，h′(x)≥0，函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；(iii)当a＞1时，lna＞0，所以当x∈(－∞，0)时，ex－elna＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(0，lna)时，ex－elna＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(lna，＋∞)时，ex－elna＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝0时，h(x)取到极大值，极大值是h(0)＝－2a－1；当x＝lna时，h(x)取到极小值，极小值是h(lna)＝－a[(lna)2－2lna＋sin(lna)＋cos(lna)＋2]．综上所述，当a≤0时，h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；当0＜a＜1时，函数h(x)在(－∞，lna)和(0，＋∞)上单调递增，在(lna,0)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(lna)＝－a[(lna)2－2lna＋sin(lna)＋cos(lna)＋2]，极小值是h(0)＝－2a－1；当a＝1时，函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a＞1时，函数h(x)在(－∞，0)和(lna，＋∞)上单调递增，在(0，lna)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(0)＝－2a－1，极小值是h(lna)＝－a[(lna)2－2lna＋sin(lna)＋cos(lna)＋2]．