§9.8直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝|x2－x1|＝|y2－y1|.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(×)(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(×)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(√)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(√)(5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(×)(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个．(√)1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为________．答案相交解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．(2014·辽宁改编)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．答案解析抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.因为切点在第一象限，所以k＝.将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为＝.3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．答案16解析直线l的方程为y＝x＋1，由得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴AB＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.4．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM＝MB，则该椭圆的离心率为________．答案解析由题意得A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1(1)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与抛物线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．思维点拨联立方程，得一元二次方程，注意考虑判别式．(1)答案解析由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得－
