专题03导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】则在点处的切线方程为，即．故选C．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．B．a=e，b=1C．D．，【答案】D【解析】 ∴切线的斜率，，将代入，得.故选D．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.3．【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则A．a<–1，b<0B．a<–1，b>0C．a>–1，b<0D．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x¿b1−a，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b¿13x3−12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b¿13x3−12（a+1）x2﹣b，，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1−a＜0且¿，解得b＜0，1﹣a＞0，b＞−16（a+1）3，则a>–1，b<0.故选C．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b¿13x3−12（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考天津文数】曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】 ，∴，故所求的切线方程为，即.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（1）以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．（2）如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是▲.【答案】4【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.7．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点，则.又，当时，，则曲线在点A处的切线为，即，将点代入，得，即，考察函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．8．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f...
