高考数学 破解命题陷阱 专题08 含参数的导数问题解题方法-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题08含参数的导数问题解题方法一、陷阱类型1.导数与不等式证明2.极值点偏移问题3.导函数为0的替换作用4.导数与数列不等式的证明5.变形后求导6.讨论参数求参数7.与三角函数有关的含参数的求导问题8.构造函数问题9.恒成立求参数二、陷阱类型分析及练习1.导数与不等式证明例1.已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论的单调性；（2）当a﹤0时，证明．（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.【放陷阱措施】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.练习1设函数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求(2)证明:【答案】（I）；（II）详见解析.试题解析：（1）函数的定义域为，.由题意可得，.故，.（2）证明：由（1）知，，从而等价于.设函数，则.所以当，；当时，.故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，则.所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.综上，当时，，即.2.极值点偏移问题例2.．函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(2)由题意结合函数的性质可知：是方程的两根，结合所给的不等式构造对称差函数，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式.试题解析：函数的定义域为，（1）令，开口向上，为对称轴的抛物线，当时，①，即时，，即在上恒成立，②当时，由，得，因为，所以，当时，，即（2）若函数有两个极值点且，则必有，且，且在上递减，在和上递增，则，因为是方程的两根，所以，即，要证又，即证对恒成立，设则当时，，故，所以在上递增，故，所以，所以.【防陷阱措施】：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．练习1.已知函数（其中）在点处的切线斜率为1.（1）用表示；（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果，证明：.【答案】（1）；（2）；（III）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意即得；（2）在定义域上恒成立，即，由恒成立，得，再证当时，即可；（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，当时，不妨设，要证明，等价于，需要证明，令，可证得在上单调递增，即可证得.试题解析：（1），由题意（2）在定义域上恒成立，即。解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得对恒成立，令，则。这里先证明，记，则，易得在上单调递增，在上单调递减，，所以。因此，，且时，所以，实数的取值范围是。（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，当时，不妨设，要证明，等价于，只需要证明，这里，令，求导得.注意当时，，，（可由基本不等式推出）又因此可得，当且仅当时等号成立。所以在上单调递增，，也即，因此，此时都在单调递增区间上，所以，得练习2已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.【答案】(1)详见解析(2)(2)利用第(1)可得到当时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数的可行域内,把关于的表达式带入,得到关于的不等式,然后利用导函数讨论的取值范围使得成立.即可解决该问题...