2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标17定积分与微积分基本定理理[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．一、选择题1.exdx的值等于(C)A．eB．1－eC．e－1D．(e－1)解析：exdx＝ex＝e1－e0＝e－1，故选C．2.dx＝(C)A．e2－2B．e－1C．e2D．e＋1解析：dx＝(x2＋lnx)＝e2.故选C．3．求曲线y＝x2与直线y＝x所围成图形的面积，其中正确的是(A)A．S＝(x－x2)dxB．S＝(x2－x)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y－)dy解析：由图象可得S＝(x－x2)dx.第3题图第4题图4．曲线y＝与直线y＝x－1及直线x＝4所围成的封闭图形的面积为(D)A．2ln2B．2－ln2C．4－ln2D．4－2ln2解析：由曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为S＝dx＝(x2－x－2lnx)＝4－2ln2.5．设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为(A)A．B．C．D．解析：根据定积分的运算法则，可知f(x)dx可以分为两段，即f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋lnx＝＋1＝，故选A．6．如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数y＝cosx图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为(D)A．B．C．D．1解析：因为cosxdx＝sinx＝1，故所求概率为＝.二、填空题7．(cosx－sinx)dx＝0.解析：(cosx－sinx)dx＝sinx＋cosx＝0.8．若函数f(x)＝x＋，则f(x)dx＝.解析：dx＝＝.9．由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是2－2.解析：由图可得阴影部分面积S＝2(cosx－sinx)dx＝2(sinx＋cosx)＝2(－1)．三、解答题10．求下列定积分．(1)dx；(2)(cosx＋ex)dx.解析：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx＝－＋lnx＝－＋ln2＝ln2－.(2)(cosx＋ex)dx＝cosxdx＋exdx＝sinx＋ex＝1－.11．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．解析：∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，∴在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x，y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图．由可得交点A(2,4)．∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积S＝(2x－x2)dx＝＝4－＝.12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)，若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l2，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．2(1)求a，b，c的值；(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．解析：(1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则解得(2)由(1)知，函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋8x.由得x2－8x－t(t－8)＝0，∴x1＝t，x2＝8－t.∵0≤t≤2，∴直线l2与f(x)的图象位于l1左侧的交点坐标为(t，－t2＋8t)，由定积分的几何意义知：S(t)＝[(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx＋[(－x2＋8x)－(－t2＋8t)]dx＝＋＝－t3＋10t2－16t＋.3
