课下层级训练(四十六)椭圆的概念及其性质[A级基础强化训练]1．(2019·山东滨州模拟)若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】C[依题意可知，c＝b，又a＝＝c，∴椭圆的离心率e＝＝.]2．(2018·广东惠州调研)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C[把椭圆方程化成＋＝1.若m＞n＞0，则＞＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则＞＞0即有m＞n＞0.故为充要条件．]3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4B．3C．2D．5【答案】A[由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1【答案】A[由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1.]5．(2019·山东烟台模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8【答案】C[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又 ＋＝1，∴y2＝3－x2，∴OP·FP＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2. －2≤x≤2，∴当x＝2时，OP·FP有最大值6.]6．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为____________________．【答案】＋＝1或＋＝1[由题意知解得又b2＝a2－c2，∴b2＝9，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.]7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________________．【答案】(－5,0)[ 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5. 椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]8．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为____________．【答案】7[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.]9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．【答案】解(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1．(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12．10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．【答案】解椭圆方程可化为＋＝1，m>0． m－＝>0，∴m>，∴a2＝m，b2＝，c＝＝．由e＝，得＝，∴m＝1．∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝．∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2．[B级能力提升训练]11．(2019·山东德州模拟)已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足|AP|－|BP|＝2，则AP·BP的值等于()A．－12B．12C．－9D．9【答案】D[由题意易知A(0，－2)，B(0,2)为椭圆＋＝1的两焦点，∴|AP|＋|BP|＝2×4＝8．又|AP|－|BP|＝2，∴|AP|＝5，|BP|＝3． |AB|＝4∴△ABP为直角三角形，∴AP·BP＝(AB＋BP)·BP＝|BP|2＝9.]12．(2019·山东临沂月考)过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点则△PQF周长的最小值是()A．14B．16C．18D．20【答案】C[如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×4＝18.]13．(2019·山东东营...
