解函数性质问题定义域导航引路阳圣兵黄文华函数的定义域是自变量的取值集合，它是函数不可缺少的组成部分。若两个函数定义域不同，它们必然是两个不同的函数，并且具有不同的函数性质，即使解析式相同，函数的单调性、奇偶性、周期性、最值问题一般也会因定义域的不同而发生改变。因此解决函数性质问题，应优先考虑函数的定义域。一、判断函数的奇偶性，优先考虑定义域函数具备奇偶性的一个必要条件是定义域关于原点对称，讨论函数的奇偶性，应先判断其定义域。例1函数为奇函数吗？为什么？错解：。因，故f(x)为奇函数。剖析：函数f(x)解析式化简后，形式上是一个奇函数，但是否为奇函数还决定于其定义域。事实上，该函数定义域为，不关于原点对称。如，而不存在，于是。故该函数不具备奇偶性，不是奇函数。二、判断函数的周期性，优先考虑定义域若函数具备周期性，则它的定义域D必须是一个无限集，且，有（T0）。例2求函数的最小正周期。错解：由，根据周期公式，该函数周期。剖析：三角函数中许多公式有它成立的条件，它们不都是恒等式。与形式上是同一个函数，但它们的定义域不同，其实是两个不同的函数，而且它们的周期也不一样。事实上，y=tan2x的定义域为，周期为，而的定义域为，周期是2π。故原函数的最小正周期为2π。三、判断函数的单调性，优先考虑定义域函数的单调区间应是定义域内的单调区间，自变量在单调区间内的每个取值必须使函数值有意义，故求得的单调区间应是定义域的子集。例3求函数的单调增区间。错解：。因函数y=lgt单调递增，故原函数的增区间即为函数的增区间。，即。剖析：原函数是一个复合函数，外层函数的对数函数，作为对数的真数必须大于0。由，即，可知，可得用心爱心专心115号编辑1。综合知该函数的增区间为。四、求函数的值域或最值，优先考虑定义域值域是全体函数值的集合。多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数值域也就随之确定。而最值是值域中最大或最小的值。例4x为△ABC内角，求函数的最值。错解：由x为△ABC内角，得，可知sinx>0。故，即值域为。可知此函数无最大值，有最小值。剖析：这里用均值不等式时，等号成立的条件是，显然。令t=sinx，则函数y的最值，应考虑自变量t的范围。由函数的单调性，因，而函数递减，故原函数没有最大值。当t=sinx=1，即时，。点评：函数的定义域是函数的最根本要素，某种程度上它决定了函数的其他性质。因此解决函数性质问题应优先考虑定义域，用定义域为我们解函数性质问题导航引路。用心爱心专心115号编辑2
