2016届高考数学一轮复习3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时作业理湘教版一、选择题1．sin（65°－x)cos（x－20°)＋cos（65°－x)cos（110°－x)的值为（）A.B.C.D.【解析】原式＝sin（65°－x)cos（x－20°)＋cos（65°－x)cos［90°－（x－20°)］＝sin（65°－x)cos（x－20°)＋cos（65°－x)sin（x－20°)＝sin［（65°－x)＋（x－20°)］＝sin45°＝.【答案】B2.（2013·衡阳月考）若，则（）A.B.C.D.【解析】：由，即得，∴，故选A.【答案】：A13．（2014·浙江五校联考）若α∈（，π），且3cos2α＝sin（－α），则sin2α的值为（）A.B.－C.D.－【解析】cos2α＝sin（－2α）＝sin[2(－α)]＝2sin（－α）·cos（－α），代入原式，得6sin（－α）cos（－α）＝sin（－α），∵α∈（，π），∴cos（－α）＝，∴sin2α＝cos（－2α）＝2cos2（－α）－1＝－.故选D.【答案】D4．(2013·汕头调研)若Error:Referencesourcenotfound＝Error:Referencesourcenotfound，则tan2等于()A.Error:ReferencesourcenotfoundB.－Error:ReferencesourcenotfoundC.Error:ReferencesourcenotfoundD.－Error:Referencesourcenotfound【解析】：Error:Referencesourcenotfound，∴tan＝2，∴tan2,故选D.【答案】：D5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，则cos(α－β)的值等于()A．－B.C．－D.【解析】：∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，2∴sin2α＝＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.【答案】：D6．（2014·潍坊模拟）已知α，β∈（0，），满足tan（α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是（）A.B.C.D.【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tan－β＝时等号成立．【答案】B二、填空题7.(2014·山东东营质检)已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________.【解析】∵α∈，且2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，即2sinα＝3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝，∴＝＝.【答案】8.(2013·苏州调研)已知tanα＝，tanβ＝，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝_____.3【解析】tan2β＝，∴tan(α＋2β)＝.∵tanα＝＜1，α∈(0，π)，∴α∈(0，)，同理β∈(0，)，∴α＋2β∈(0，)，∴α＋2β＝.【答案】9．若α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，则tan（α－β)＝_____.【解析】∵sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，两式平方相加得：2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝，即2－2cos（α－β)＝，∴cos（α－β)＝.∵α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－＜0，∴0＜α＜β＜.∴－＜α－β＜0.∴sin（α－β)＝.4∴tan（α－β)＝.【答案】－10.=.【解析】：===2.【答案】：2三、解答题11.（1)（2014·合肥模拟)若α是第二象限角，sin（π－α)＝,求的值；（2)已知函数f（x)＝tan（2x＋），设α∈（0,），5若f()＝2cos2α，求α的大小.【解析】（1)由sin（π－α)＝，得sinα＝，又α是第二象限角，∴cosα＝－.因此原式＝.（2)由f()＝tan(α+)＝2cos2α，得＝2（cos2α－sin2α).整理得α＝2（cosα－sinα)（cosα＋sinα)，又∵α∈(0,)，∴sinα＋cosα≠0.∴（cosα－sinα)2＝，∴sin2α＝.6又∵α∈(0,)，∴2α∈(0,)，∴2α＝，即α＝.12．已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cos()的值.【解析】(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，即.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解得tanα＝或tanα＝.∵α∈(，2π)，∴tanα<0，∴tanα＝.(2)∵α∈(，2π)，∴∈(，π).由tanα＝，求得tan＝或tan＝2(舍去).∴sin＝，cos＝－，∴cos（＋）＝coscos－sinsin7＝－×－×＝.13．已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值.【解析】：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.又2α∈，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.(2)∵β∈，β－∈，∴cos＝，于是sin2＝2sincos＝.又sin2＝－cos2β，∴cos2β＝－.又2β∈，∴sin2β＝.又cos2α＝＝，∴cosα＝，sinα＝.∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－.8
