高考数学二轮复习 专题4 不等式 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题四不等式第二讲线性规划、基本不等式与不等式的证明线性规划问题的解题步骤为：1．设出变量x，y，列出变量x，y的线性约束条件，确定目标函数．2．作出可行域和目标函数值为0的直线l.3．利用直线l确定最优解对应的点，从而求出最优解．1．基本不等式：≥.(1)基本不等式成立的条件：a，b＞0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．2．几个重要的不等式．(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a与b同号)．(3)a＋≥2(a＞0)，a＋≤－2(a＜0)．(4)ab≤(a，b∈R)．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(2)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线1围成的含有y轴的两块区域．(√)(3)不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．(×)(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(√)(5)若a>0，则a3＋的最小值为2.(×)(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(√)1．设x，y满足则z＝x＋y(B)A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值解析：画出不等式表示的平面区域，如图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z＝2，无最大值．故选B.22．(2015·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(C)A．3B．4C．18D．40解析：由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0，3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.3．若x＞0，则x＋的最小值为2．解析： x＞0⇒x＋≥2，当且仅当x＝⇒x＝时取等号．4．(2015·天津卷)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为4时，log2a·log2(2b)取得最大值．3解析：由于a>0，b>0，ab＝8，所以b＝.所以log2a·log2(2b)＝log2a·log2＝log2a·(4－log2a)＝－(log2a－2)2＋4，当且仅当log2a＝2，即a＝4时，log2a·log2(2b)取得最大值4.一、选择题1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则有(A)A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)＜g(x)D．不能确定f(x)与g(x)的大小关系解析： f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0.∴f(x)＞g(x)．2．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(C)A．2B．3C．4D．5解析：将(1，1)代入直线＋＝1，得＋＝1，a＞0，b＞0，故a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故选C.3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(B)A.＞B.＜C.＞D.＜解析： c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，－＞－＞0.又a＞b＞0，∴－＞－＞0，∴＜.故选B.4．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(A)A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1，2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因为－4≤|x＋3|－|x－1|≤4，对|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意x恒成立，所以a2－3a≥4，解得a≥4或a≤－1.5．(2015·北京卷)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为(D)A．0B．1C.D．2解析：作出不等式组所表示的平面区域，如下图．4作直线x＋2y＝0，向右上平移，当直线过点A(0，1)时，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2.6.(2014·福建卷)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(C)A．80元B．120元C．160元D．240元解析：设长方体底面边长分别为x，y，则y＝，所以容器总造价为z＝2(x＋y)×10＋20xy＝20＋80，由基本不等式得，z＝20＋80≥160，当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低．故选C.二、填空题7．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为2．解析：x2＋2y2≥2＝2·＝2.当且仅当x2＝2y2时等号成立．8．(2015·新课标Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则的最大值为3．解析：画出可行域如图阴影所示， 表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时最大．由...