第2讲数列的求和及综合应用一、选择题1．已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为()(导学号55410114)A．n2＋1－B．n2＋2－C．n2＋1－D．n2＋2－解析：an＝(2n－1)＋，所以Sn＝＋＝n2＋1－.答案：A2．(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，当d＞0时，则S4＋S6－2S5＞0，即S4＋S6＞2S5.反之，S4＋S6＞2S5，可得d＞0.所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．答案：C3．(2017·东北三省四市二模)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝()A．9B．15C．18D．30解析：因为an＋1－an＝2，a1＝－5，所以数列{an}是公差为2的等差数列．所以an＝－5＋2(n－1)＝2n－7.数列{an}的前n项和Sn＝＝n2－6n.令an＝2n－7≥0，解得n≥.所以n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an.则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6，S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.答案：C4．满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn＞1025的最小n值是()(导学号55410115)A．9B．10C．11D．12解析：因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1.则满足Sn＞1025的最小n值是11.答案：C5．(2017·长沙一中月考)数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．9解析：由于an＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝1－，因此1－＝，所以n＝9，所以直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，所以在y轴上的截距为－9.答案：B二、填空题6．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”．若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2.答案：2n＋1－n－27．(2017·潮州二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，an＝2·3n－1(n∈N*)，若bn＝，则b1＋b2＋…＋bn＝________．解析：易知数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＝＝3n－1，又bn＝＝＝－，则b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝－.答案：－8．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列的最大项的值为________．解析：因为a⊥b，所以a·b＝2Sn－n(n＋1)＝0，所以Sn＝，所以an＝n，所以＝＝，当n＝2时，n＋取最小值4，此时取到最大值.答案：三、解答题9．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝.当n＝1，2，3时，1≤＜2，bn＝1；当n＝4，5时，2≤＜3，bn＝2；当n＝6，7，8时，3≤＜4，bn＝3；当n＝9，10时，4≤＜5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．(2017·莆田质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋kn，其中k为常数，a6＝13.(1)求k的值及数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由已知Sn＝n2＋kn，有an＝Sn－Sn－1＝2n＋k－1(n≥2)，又a1＝S1＝k＋1，所以an＝2n＋k－1.又因为a6＝13，所以2×6＋k－1＝13，解得k＝2，所以an＝2n＋1.(2)因为bn＝＝＝，所以bn＝－，所以Tn＝＋＋…＋＋＝1－＝，所以数列{bn}的前n项和Tn＝.11．(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(导学号55410116)(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由即可解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1.(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，又Tn＝c1＋...
