命题角度4.2：空间位置关系证明与线面角求解1.如图，三棱柱中，，，分别为棱的中点.（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）.试题解析：（1）如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.（2）连结， ，∴为正三角形. 为的中点，∴，又 侧面侧面，且面面，平面，∴平面，在平面内过点作交于点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，. 为的中点，∴点的坐标为，∴. ，∴，∴，设平面的法向量为，由得，令，得，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.点睛：考察立体几何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性.2.如图，正方形的对角线与相交于点，四边形为矩形，平面平面.（1）求证:平面平面；（2）若点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再借助面面垂直的判定定理推证；（2）先依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的数量积公式及向量的运算的坐标运算进行分析求解：试题解析：(1)证明:为正方形，,四边形为矩形，,,又平面,又平面,平面平面.设平面的法向量为,由，即,令,得,由.得直线与平面所戍角的正弦值即为.点睛：立体几何是高中数学中的传统而典型的内容之一，也高考重点考查的考点和热点。这类问题的设置一般有两类：其一是线面位置关系的判定；其二是有关几何体的体积面积以及角度距离的求解与计算等问题。求解第一类问题时，要充分借助和运用线面位置关系的判定定理或性质定理进行分析推证；解答第二类问题时，通常是先建立空间直角坐标系，再运用向量的有关知识及数量积公式建立方程进行探求从而使得问题获解。3.如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，.（1）求二面角的余弦值；（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系：则，，，，所以，，．设平面的法向量为，由，，得且．取，得，，所以是平面的一个法向量．因为平面ABC，取平面ABC的一个法向量．设二面角的大小为，所以，（2）由（1）知，则，．设（），则，所以．易知平面，所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为，所以，即因为平面ABC，取平面ABC的一个法向量．设二面角的大小为，所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．（2）由（1）知，则，．设（），则，所以．易知平面，所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为，所以，即，得或（舍）．所以，，所以线段的长为．4.如图，在三棱柱中，为的中点，，.（1）求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的有关知识与数量积公式分析求解：（1）证明：连结与相交于点，连结. 为中点，∴，又 平面平面，∴平面.如图，过在平面内作，垂足为． 平面平面，平面平面，∴平面．以点为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，得下列坐标：．设平面的一个法向量，则，∴，解之得．∴．又 ．∴，所以直线与平面所成角的正弦值为．点睛：立体几何是高中数学中的传统题型，也是高考重点考查的热点与重要考点。求解本题的第一问的方法是依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；求解第二问时，则先依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式的运算等有关知识，求出法向量，再借助向量的数量积公式分析求解从而使得问题获解。5.在矩形中，，是边的中点，如图（1），将沿直线翻折到的位置，使，如图（2）.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）已知，，分别是线段，，上的点，且，，平面，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)直线与平面所成角的...
