专题13立体几何中的向量方法1．在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是()A.B.C.D.解析：如图，建立空间直角坐标系，易求点D.2．在三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC均是等腰直角三角形．O是斜边AC的中点，平面PAC⊥平面ABC，且AC＝4，设θ是二面角PABC的大小，则sinθ＝()A.B.C.D.解析：连接PO，过O作OD⊥AB，连接PD(如图)．因为平面PAC⊥平面ABC，PO⊥AC，所以PO⊥平面ABC，PO⊥AB.又OD⊥AB.从而AB⊥平面POD，PD⊥AB，所以∠PDO为二面角PABC的平面角，即θ＝∠PDO.由题设，OD＝BC＝×2＝，OP＝2，所以PD＝＝.故sinθ＝sin∠PDO＝＝＝.答案：C3．如图所示，在正方体AC1中，AB＝2，A1C1∩B1D1＝E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos(α－β)＝________．解析：连接BD，⇒AC⊥平面BB1D1D⇒AC⊥DE，所以α＝.取A1D1的中点F，连EF，FD，易知EF⊥平面AD1，则β＝∠EDF，cos(α－β)＝cos＝sin∠EDF＝.答案：4．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2，m是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为________．则cosθ＝＝＝.所以异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为.答案：5．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求二面角CBED的余弦值的大小．解：设AD＝DE＝2AB＝2a，以AC、AB所在的直线分别作为x轴、z轴，以过点A在平面ACD上作出以AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)．因为F为CD的中点，所以F.即令x0＝可得n＝(，－1，0)．于是cos〈m，n〉＝＝.故二面角CBED的余弦值为.6．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面ADG；(2)求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．(2)解：如图以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，因为∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，所以A(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，，2)，G(0，0，1)，AE＝(－1，，2)，AG＝(－1，0，1)，GB＝(0，，－1)．设平面AEFG的法向量n＝(x，y，z)，令x＝1，得y＝，z＝1，所以n＝.设直线GB和平面AEFG的夹角为θ，所以sinθ＝|cos〈GB，n〉|＝＝，所以直线GB与平面AEFG所成角的正弦值为.7．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求AE的长度．(2)解：以O为原点，以OA，OB所在直线为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0，，0)，D(0，－，0)，F(－1，0，3)．设AE＝a，则E(1，0，a)，所以OF＝(－1，0，3)，DB＝(0，2，0)，EB＝(－1，，－a)，8.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2a，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系，并证明你的结论．解析：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a，0)，E(a，a,2a)．因为F为CD的中点，所以F.9.如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，△PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知点M是PD的中点．(1)证明：PB∥平面AMC；(2)求直线BD与平面AMC所成角的正弦值．解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OM，因为四边形ABCD为菱形，OB＝OD，又M为PD的中点，所以OM∥PB.由PB⊄平面AMC，OM⊂平面AMC，所以PB∥平面ACM.(2)取AB的中点N，连接PN，ND，则∠AND＝90°，分别以NB，ND，NP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N－xyz，则B，C，A，D，P，M，则AC＝，AM＝.10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求二面角PANM的余弦值．解析：(1)证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH，在△PBC中，NH∥BC...
