模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:∀x∈R,x≥1,则命题p为()A.∀x∈R,x≤1B.∃x0∈R,x0<1C.∀x∈R,x≤-1D.∃x0∈R,x0<-1解析全称命题的否定是特称命题.答案B2.设向量a=(2,2,0),b=cosα,-12,1(0°<α<180°),若a⊥b,则角α=()A.30°B.60°C.120°D.150°解析a·b=2cosα+2×(-12)+0×1=0得cosα=12,因为0°<α<180°,所以α=60°,故选B.答案B3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为()A.18B.-18C.8D.-8解析由y=ax2得x2=1ay,∴1a=-8,∴a=-18.答案B4.“α是第一象限角”是“关于x,y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆,则满足sinα>0,cosα>0,且sinα≠cosα,即2kπ<α<2kπ+π2,且α≠2kπ+π4,k∈Z,所以“α是第一象限角”是“关于x,y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件,故选B.答案B5.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dB.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限C.p:x=1,q:x2=xD.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)内为增函数1解析由于a>b,c>d⇒a+c>b+d,而a+c>b+d却不一定推出a>b,且c>d,故A中p是q的必要不充分条件;B中,当a>1,b>1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过第二象限时,有a>1,b≥1,故B中p是q的充分不必要条件;C中,因为当x=1时有x2=x,但当x2=x时不一定有x=1,故C中p是q的充分不必要条件;D中,p是q的充要条件.答案A6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是()A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.线段解析 P为MF1中点,O为F1F2的中点,其中F2为椭圆的右焦点,∴OP=12MF2.又MF1+MF2=2a,∴PF1+PO=12MF1+12MF2=a.∴P的轨迹是以F1,O为焦点的椭圆.答案A7.在空间四面体O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,P是MN的三等分点(靠近N),若⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,则⃗OP=()A.13a+16b+16cB.16a+13b+13cC.12a+16b+13cD.16a+12b+13c解析由题意可得:⃗AN=12¿)=12[(⃗OB−⃗OA)+(⃗OC−⃗OA)]=12(b+c)-a,⃗MN=⃗MA+⃗AN=12a+12(b+c)-a=12(b+c-a),⃗OP=⃗OM+23⃗MN=12a+13(b+c-a)=16a+13b+13c.故选B.答案B28.经过点(3,-√2)的双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),其一条渐近线方程为y=√33x,该双曲线的焦距为()A.√2B.2C.2√2D.4解析点(3,-√2)在双曲线x2a2−y2b2=1上,可得9a2−2b2=1.又渐近线方程为y=±bax,一条渐近线方程为y=√33x,可得ba=√33,解得a=√3,b=1.所以c=√a2+b2=2,焦距为2c=4.故选D.答案D9.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,1,1),且a+b与ka-b互相垂直,则k的值是()A.1B.12C.-1D.13解析因为向量a=(2,1,0),b=(-1,1,1),所以a+b=(1,2,1),ka-b=(2k+1,k-1,-1),又a+b与ka-b互相垂直,所以(a+b)·(ka-b)=0,即1×(2k+1)+2×(k-1)+1×(-1)=0,解得k=12.故选B.答案B10.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于()A.√3B.2C.√6D.√5解析双曲线的一条渐近线为y=bax,由{y=bax,y=x2+1,消y得x2-bax+1=0.由题意,知Δ=(-ba)2-4=0,∴b2=4a2.又c2=a2+b2,∴c2=a2+4a2=5a2.∴ca=√5.答案D11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=√6,则AA1与平面AB1C1所成的角为()3A.π6B.π4C.π3D.π2解析 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=√6,∴建立以A为坐标原点,直线AC,AB,AA1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图.则A1(0,0,√6),A(0,0,0),B1(0,2,√6),C1(2,0,√6),则⃗AB1=(0,2,√6),⃗AC1=(2,0,√6),设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z),⃗AA1=(0,0,√6),则m·⃗AB1=2y+√6z=0,m·⃗AC1=2x+√6z=0,令z=1,则x=-√62,y=-√62,即m=(-√62,-√62,1),则AA1与平面AB1C1所成的角θ满足sinθ=|cos<⃗AA1,m>|=√6√6×√(-√62)2+(-√62)2+1=12,则θ=π6,故选A.答案A12.已知点P(1,32)是椭圆x24+y23=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足⃗PA+⃗PB=3⃗PO,则直线AB的斜率为()A.-12B.-√22C.12D.√22解析设A(x1,y1),B(x2,y2).4 ⃗PA+⃗PB=3⃗PO,点P(1,32),∴(x1-1,y1-...
