广东省珠海市金海岸中学高三数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题高考要求纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度重难点归纳1解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题2纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关(1)事理关需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力(2)文理关需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系(3)事理关在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力典型题例示范讲解例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型知识依托本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点用心爱心专心1错解分析(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差技巧与方法正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧解(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1=1600×［()n－1］(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得5x2－7x+2＞0解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去)即()n＜，由此得n≥5∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入例2已知Sn=1++…+,(n∈N*)，设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m用心爱心专心2的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立命题意图本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力知识依托本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙错解分析本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理技巧与方法解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为函数f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2解 Sn=1++…+(n∈N*)∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是关于n的增函数∴f(n)min=f(2)=∴要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可由得m＞1且m≠2此时设［logm(m－1)］2=t则t＞0于是解得0＜t＜1由此得0＜［logm(m－1)］2＜1解得m＞且m≠2用心爱心专...
