第4节函数的奇偶性与周期性考试要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.[常用结论与易错提醒]1.函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0).3.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A.－B.C.D.－解析依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.答案B3.(2019·北京东城区二模)下列函数中既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A.y＝x3B.y＝cosxC.y＝exD.y＝|x|＋1解析y＝x3是奇函数，故A排除；y＝ex是非奇非偶函数，C排除；y＝cosx是偶函数，但在(0，＋∞)上有增也有减，B排除，只有D正确.答案D4.若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，则f(2020)＋f(2019)＝()A.－2020B.0C.1D.2020解析因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(－1)＝f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，且f(0)＝0，而f(2020)＝f(2×1010＋0)＝f(0)＝0，f(2019)＝f(2×1009＋1)＝f(1)＝0，故选B.答案B5.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.解析 f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.答案36.设a>0且a≠1，函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，g(f(2))＝________.解析 f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即a0＋1－2＝0，∴a＝2；当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(2－x＋1－2)＝2－2－x＋1，即g(x)＝2－2－x＋1，∴f(x)＝f(2)＝2－2－2＋1＝2－＝>0，∴g(f(2))＝g＝2－2－＋1＝2－2－＝2－.答案22－考点一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝解(1)由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又 f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.规律方法判...
