考点十六直线与圆锥曲线综合问题一、选择题1．(2019·安徽芜湖模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于()A．B．2C．3D．6答案B解析由题意得焦点F(c,0)到渐近线bx＋ay＝0的距离为d＝＝＝b，即b＝，又＝，c2＝a2＋b2，可解得c＝，∴该双曲线的焦距为2c＝2，故选B.2．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A．B．－C．±D．－答案B解析由题意可设点A的坐标为(x0,1)，代入y2＝4x得12＝4x0，x0＝，又焦点F的坐标为(1,0)，所以kAB＝kAF＝＝－，故选B.3．(2019·河南安阳二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B.若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为()A．B．C．2D．3答案C解析由题意可得A(a,0)，双曲线的渐近线方程为ay±bx＝0，不妨设B点为直线x＝a与y＝x的交点，则B点的坐标为(a，b)，因为AB⊥FA，∠BFA＝30°，所以tan∠BFA＝＝＝＝，解得e＝2，故选C.4．(2019·四川五校高三联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆C的离心率的取值范围是()A．B．C．D．答案C解析如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF是平行四边形，可得6＝|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a，得a＝3，取P(0，b)，由点P到直线l的距离不小于，可得≥，解得|b|≥2.所以e＝＝≤＝，故选C.5．已知圆O：x2＋y2＝4，从圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上)，点M在直线PP1上，且向量P1M＝2P1P，则动点M的轨迹方程是()A．4x2＋16y2＝1B．16x2＋4y2＝1C．＋＝1D．＋＝1答案D解析由题可知P是MP1的中点，设点M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则又x＋y＝4，故2＋y2＝4，即＋＝1.故选D.6．(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知F是椭圆C：＋＝1的右焦点，P为椭圆C上一点，A(1,2)，则|PA|＋|PF|的最大值为()A．4＋B．4C．4＋D．4答案D解析如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝2，又F′(－1,0)，|AF′|＝＝2，∴|PA|＋|PF|＝2＋|PA|－|PF′|，根据图形可以看出||PA|－|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|－|PF′|最大，为|AF′|＝2，∴|PA|＋|PF|的最大值为2＋2＝4，故选D.7．已知抛物线y2＝4x上有10个不同的点，坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P10(x10，y10)，且横坐标x1，x2，x3，…，x10成等差数列，x2，x9为方程x2－5x＋6＝0的两个根，抛物线的焦点为F，则|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|的值为()A．20B．30C．25D．35答案D解析由x2，x9为方程x2－5x＋6＝0的两个根，可知x2＋x9＝5，x1＋x2＋…＋x10＝＝＝25，|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|＝x1＋x2＋…＋x10＋10＝35.8．已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，且直线AB与x轴交于点(a,0)，若∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1]答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0>y2)，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋a，由得y2－my－a＝0，则y1＋y2＝m，y1y2＝－a，又因为∠AOB为锐角，所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2>0，因为y1y2<0，所以y1y2<－1，即a>1.二、填空题9．已知直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，动点P满足|PA|＝|PB|，则点P的轨迹方程为________，轨迹为________．答案x2＋y2－12x＋4＝0一个圆解析设动点P的坐标为(x，y)，因为|PA|＝|PB|，所以＝，整理得x2＋y2－12x＋4＝0，轨迹为一个圆．10．已知P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________．答案解析易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝...
