专题35两条直线的位置关系1．能根据直线的方程判断两条直线的位置关系。2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离。热点题型一两条直线的平行与垂直例1、(1)若直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________。(2)若直线l3：(a＋2)x＋(2－a)y＝1与直线l4：(a－2)x＋(3a－4)y＝2互相垂直，则a的值为________。【解析】(1)直线l1：ax＋2y－6＝0的斜率为－，在y轴上的截距为3。又因为直线l1与直线l2平行，所以直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0的斜率存在且等于－，在y轴上的截距为－(a＋1)。由两直线平行得，－＝－且3≠－a－1，解得a＝2或a＝－1。【提分秘籍】由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件≠(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件＝＝(A2B2C2≠0)【举一反三】已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．8【答案】A【解析】 l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8，又 l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10。热点题型二直线的交点例2、经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________。其斜率－＝－，解得λ＝，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0。【提分秘籍】常见的直线系方程运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是：Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2。【举一反三】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，则直线l的方程为________。∴点A的坐标为，由两点式可得l的方程8x－y－24＝0。热点题型三距离公式及其应用例3．(1)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝()A．7B.C．14D．17(2)过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线方程为________________。【提分秘籍】距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式。(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式。提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等。【举一反三】若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是()A.B．5C.D．15【答案】B【解析】由题意得P1P2中点的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离d＝＝5。热点题型四对称问题及其应用例4、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)。求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程。【解析】(1)设A′(x，y)，再由已知又 m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′方程为9x－46y＋102＝0。(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)， P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0。【提分秘籍】处理对称问题的方法(1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上。(2)处理直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的对称问题来解决。(3)直线关于点的对称都可以转化为点关于点的对称来处理。【...
