课时跟踪检测(二十八)数系的扩充与复数的引入一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.2．(2016·西安质检)已知复数z1＝2＋i，z2＝1－2i.若z＝，则＝()A.＋IB.－iC．iD．－i解析：选Dz＝＝＝＝＝i，＝－i.3．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为()A．－B．－iC.D.i解析：选A由题意得所以a＝1，所以＝＝＝－i，根据虚部的概念，可得的虚部为－.4．复数|1＋i|＋2＝________.解析：原式＝＋＝＋＝＋i－＝i.答案：i5．(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.解析：∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Bz＝＝＝＝－－i，则＝－＋i在复平面内对应的点在第二象限．2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝()A．2B．3C．2D．3解析：选A由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，则z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.3．(2015·浙江宁波高三期中)已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2015＝()A．1＋IB．1－iC．iD．0解析：选Dz＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2015＝＝＝＝0.4．(2016·芜湖一模)已知i是虚数单位，若z1＝a＋i，z2＝a－i，若为纯虚数，则实数a＝()A.B．－C.或－D．0解析：选C＝＝＝是纯虚数，∴解得a＝±.5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则＝B．若z1＝，则＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·D．若|z1|＝|z2|，则z＝z解析：选D对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．6．(2016·浙江摸底)已知i是虚数单位，若＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．解析：由＝b＋i，得＝＝3－ai＝b＋i，所以b＝3，a＝－1，则ab＝－3.答案：－37．(2015·唐山统考)若复数z满足z＝i(2＋z)(i为虚数单位)，则z＝________.解析：∵z＝i(2＋z)，∴(1－i)z＝2i，∴z＝＝＝i(1＋i)＝－1＋i.答案：－1＋i8．已知a∈R，若为实数，则a＝________.解析：＝＝＝＋i，∵为实数，∴＝0，∴a＝－.答案：－9．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．解析：∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.答案：10．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·刑台摸底考试)已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i，则下列命题中错误的是()A．z＝z2B．|z1|＝|z2|C．z－z＝1D．z1，z2互为共轭复数解析：选C依题意，注意到z＝2＝－i＝－－i＝z2，因此选项A正确；注意到|z1|＝1＝|z2|，因此选项B正确；注意到＝－－i＝z2，因此选项D正确；注意到z＝z·z1＝2·＝＝1，同理z＝1，因此z－z＝0，选项C错误．综上所述，选C.2．已知复数z1＝cos15°＋sin15°i和复数z2＝cos45°＋sin45°i，则z1·z2＝________.解析：z1·z2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝＋i.答案：＋i3．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若＋z2是实数，求实数a的值．解：＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
