课后限时集训32数列的概念与简单表示法建议用时：45分钟一、选择题1．已知数列，，，…，，，则3是这个数列的()A．第20项B．第21项C．第22项D．第23项C[由题意知，数列的通项公式为an＝，令＝3得n＝22，故选C.]2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64A[当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]3．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝()A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1C[当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.]4．(2019·石家庄模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2020的值为()A．2B．－3C．－D.D[由题意知，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，∴a2020＝a505×4＝a4＝.故选D.]5．已知数列{an}满足a1＝3,2an＋1＝an＋1，则an＝()A．2n－2＋1B．21－n＋1C．2n＋1D．22－n＋1D[由2an＋1＝an＋1得2(an＋1－1)＝an－1，即an＋1－1＝(an－1)，又a1＝3，∴数列{an－1}是首项为a1－1＝2，公比为的等比数列，∴an－1＝2×＝22－n，∴an＝22－n＋1，故选D.]二、填空题6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式an＝________.n－1[当n＝1时，a1＝S1＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－＝－1.又a1＝适合上式，则an＝n－1.]7．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.[由an＝an－1得＝，∴an＝××…××a1＝××…××1＝.当n＝1时，a1＝1适合上式．故an＝.]8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.(n－1)2[由题意知an－an－1＝2n－3(n≥2)，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1＝＝(n－1)2.]三、解答题9．已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.[解](1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2.由于a1不适合此式，所以an＝10．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；同理a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝a＋an，①当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.1．已知各项都为正数的数列{an}满足a－an＋1an－2a＝0，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝3n－1C．an＝2nD．an＝3nC[ a－an＋1an－2a＝0，∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0. 数列{an}的各项均为正数，∴an＋1＋an＞0，∴an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an(n∈N*)，∴数列{an}是以2为公比的等比数列． a1＝2，∴an＝2n.]2．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为()A．an＝nB．an＝n2C．an＝D．an＝B[ ＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝(n≥2)，两式相减得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.故选B.]3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.－[ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]4．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解](1)由题意可得a2＝，a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an...
