第七节立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直【最新考纲】1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．(包括三垂线定理)1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)若空间向量a平行于平面α，则向量a所在直线与平面α平行．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对解析： n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直．答案：C3．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交解析：由n＝－2a知，n∥a，则有l⊥α.答案：B4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1)B．(1，－1，1)C.D.解析：设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得∴x＝y＝z.答案：C5．(2016·济南质检)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设|AD|＝2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以AM＝(－2，0，1)，ON＝(1，0，2)，因此AM·ON＝－2＋0＋2＝0，故AM⊥ON.答案：垂直一种思想用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．一点注意运用向量知识判定空间位置关系，不可忽视几何定理满足的条件，如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．两种思路——向量法求解立体几何问题的解题思路1．选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．2．建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．一、选择题1．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2B．－4C．4D．－2解析： α∥β，∴两平面法向量平行，∴＝＝，∴k＝4.答案：C2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相关B．平行C．在平面内D．平行或在平面内解析： AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案：D3．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2，3，3)B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0)D．P(3，－3，4)解析：逐一验证法，对于选项A，MP＝(1，4，1)，∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．答案：A4．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对解析：以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)．∴PM＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，AM＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，即PM⊥AM，∴AM⊥PM.答案：C5．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，C...
