掌握三法，学好立体几何一题多解是培养同学们创新思维能力的一条有效途径．而要实现一题多解，必须能多角度分析思考，探求多种解题方法．在立体几何学习中，笔者认为向量法、坐标法、综合法是解决立体几何问题的三种方法．向量法是指根据空间向量的基本定理，运用向量的几何意义及向量数量积的概念，解决立体几何问题的方法．坐标法是指根据空间向量的基本定理，通过建立空间直角坐标系，设出点的坐标，来解决立体几何问题的方法．综合法是以逻辑推理作为工具，利用立体几何的知识，运用空间观念，解决立体几何问题的方法．下面两例用上述三种方法解决如下．例1如图1，在正方体1111ABCDABCD中0，EF，分别为1BBDC，的中点．（1）求AE与1DF所成的角；（2）证明：AE平面11DAF；分析1：在正方体中，过一顶点的三条边两两垂直，故可建立坐标系，用坐标法解决．解法1（坐标法）设正方体棱长为1，建立如图1所示的空间直角坐标系Dxyz．则111(100)(101)1100(001)22AAEFD，，，，，，，，，，，，，，．111110101(100)22AEDFDA�，，，，，，，，∴．（1）111011(1)022AEDF�∵·．1AEDF�∴·，即1AEDF．①AE∴与1DF所成的角为90°．（2）又110AEDA�∵·，11AEDA�∴，即11AEDA．②由①，②得AE平面11DAF．分析2：在正方体中，过一顶点的三条边不共面，以此三边为一组基向量，用向量法解决．解法2（向量法）设正方体棱长为1，则由题意及正方体的性质知：110DCDDDADCDADD�···，22111DCDD�，．（1）又112AEABBEDCDD�，11112DFDFDDDCDD�．1111122AEDFDCDDDCDD�∴·2211113110022422DCDDDCDD��．11AEDFAEDF�∴，即AE与1DF所成的角为90°．（2）又MF平面11AABB，FMAE∴．AE∴平面1AMFD，即AE平面11ADF．例2已知直三棱柱111ABCABC中，190136ACBCBCAAA，，，°，M是用心爱心专心1CC的中点，求证：1BAAM．解法1：建立如图2所示的直角坐标系Cxyz，则16(300)(010)00(306)2ABMA，，，，，，，，，，，．16(316)(30)2BAAM�，，，，，∴．163(3)(1)0602BAAM�∴·，1BAAM�∴，即1BAAM．解法2：111BABAAACACBCC�，112AMCMCACCCA�，221111111111()02222BAAMCACBCCCCCACCCACACBCCCBCCCA���·····．1BAAM�∴，即1BAAM．解法3：如图2，连结1AC，在1AACRt△与ACMRt△中，12AAACACCM∵，1AACACMRtRt∴△∽△．1ACAM∴．又11111BCCCAABCACBCAMBCCCAMCCAA平面平面∵．1111AMCABBAAMBACAB平面平面∴．解法4：如图3，延长1CC到N，使1MNAA，连接1ANBN，得平行四边形1NMAA，则1ANBN，得平行四边形1NMAA，则1ANAM∥．在ACMRt△中，22292AMACCM．同理可求22129102ABBN，．在1BAN△中，22211BNABAN∵，190NAB∴°，即11BAAN，1BAAM∴．从例1、例2还知道，向量法要比坐标法更具一般性，当然运用向量法比运用坐标法更难一点．但是解题中，如果能依据空间向理的基本定理，确定一组基向量，严格地将空间的任一向量都用这一组基向量来线性表示，始终如一地这样练习，我们就能获得向量法解题的一般规律，减少盲目性，增强自觉性，有意识、有目的地训练，就一定能提高解题能力．当然，向量法和坐标法都有赖于综合法，有赖于立体几何的基础知识、基本定理、法则的运用，有赖于空间想象能力的培养．综合法对于立体几何中平行与垂直关系的证明，对于空间想象力的锻炼与培养，都是不可缺少的，在教学中笔者坚信：在立体几何学习中，以综合法用心爱心专心为基础、以向量法为主导、以坐标法为中心，一定能取得良好的效果．用心爱心专心
