2016-2017学年高中数学第2讲参数方程2圆锥曲线的参数方程课后练习新人教A版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1．θ取一切实数时，连接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)两点的线段的中点轨迹是()A．圆B．椭圆C．直线D．线段解析：设中点M(x，y)，由中点坐标公式，得x＝2sinθ－2cosθ，y＝3cosθ＋3sinθ，即＝sinθ－cosθ，＝sinθ＋cosθ，两式平方相加，得＋＝2，是椭圆．答案：B2．参数方程(0≤θ<2π)表示轨迹()A．双曲线的一支，过点B．抛物线的一部分，过点C．双曲线的一支，过点D．抛物线的一部分，过点解析：因为x2＝1＋sinθ，所以x2＝2y表示抛物线，又因为x＝＝∴x∈[0，]，是抛物线的一部分．且当θ＝π时，有x＝1，y＝，即曲线过点.答案：B3．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是()A．B．C．D．解析：注意参数范围，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cost∈[－1,1]，故排除A和B．而C中y＝＝cot2t＝＝，即x2y＝1，故排除C．答案：D4．已知过曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是()A．(3,4)B．C．(－3，－4)D．解析：设|OP|＝t，则P点坐标，代入方程＋＝1，解得t＝，所以P点坐标.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．设椭圆的参数方程为(0≤θ≤π)，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上两点．M，N对应的参数为θ1，θ2且x1θ2.答案：θ1>θ26．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过顶点的两弦OA⊥OB，则分别以OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹是________．解析：设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt1y＝0，以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt2y＝0，即t1，t2为方程2pxt2＋2pyt－x2－y2＝0的两根，∴t1t2＝.又OA⊥OB，∴t1t2＝－1，即x2＋y2－2px＝0，∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．答案：以(p,0)为圆心，p为半径的圆三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，已知曲线4x2＋9y2＝36(x>0，y>0)，点A在曲线上移动，点C(6,4)，以AC为对角线作矩形ABCD，使AB∥x轴，AD∥y轴，求矩形ABCD的面积最小时点A坐标．解析：∵椭圆方程为＋＝1，设A(3cosθ，2sinθ)，θ∈，则B(6,2sinθ)，C(6,4)，D(3cosθ，4)，∴SABCD＝|AB|·|AD|＝(6－3cosθ)·(4－2sinθ)＝24－12(sinθ＋cosθ)＋6sinθcosθ，令t＝sinθ＋cosθ，则t∈(1，]，sinθcosθ＝，则SABCD＝3(t－2)2＋9.因为t∈(1，]，所以，当t＝时，矩形面积最小，即t＝sinθ＋cosθ＝sin＝，此时，θ＝.所以矩形ABCD的面积最小时点A坐标是.8．直线l：x＋2y－6＝0与抛物线y2＝2x交于A、B两点，求∠AOB的值．解析：设抛物线y2＝2x的参数方程是(t是参数)，将它代入直线l的方程x＋2y－6＝0，整理得3t2＋2t－3＝0①∵A、B对应的参数t1，t2分别是方程①的两根，∴t1·t2＝－1.∵t表示的是抛物线上除原点外的任一点与原点连线斜率的倒数，∴·＝－1，即kOA·kOB＝－1，∴∠AOB＝90°.29．(10分)水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法消除水流的部分功能，以保护水库坝基及下游堤坝的安全．如图，已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坝角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米，求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．解析：建立如图所示的直角坐标系．设轨迹上任意一点为P(x，y)．由题意鼻坝出口处的水流速度为v＝＝.取时间t为参数，则有x＝vtcos30°＝t，y＝vtsin30°－gt2＝t－gt2.所以挑出水流的轨迹的参数方程为消去参数t，得y＝－x2＋x.取y＝－18，得挑出的水流与坝基的水平距离为x＝18≈31.2(m)．所求轨迹方程为y＝－x2＋x，x∈[0,18]．3
