层级快练(五十七)1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案D解析kAB＝＝，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2. c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.2．(2018·南昌二模)已知椭圆：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x12－x22＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P(，)平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0.3．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是()A．3B.C．2D.答案D解析设椭圆＋＝1上的点P(4cosθ，2sinθ)，则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝，∴dmax＝＝.4．(2018·广东梅州阶段测评)已知椭圆E：＋＝1的一个顶点C(0，－2)，直线l与椭圆E交于A，B两点，若E的左焦点F1为△ABC的重心，则直线l的方程为()A．6x－5y－14＝0B．6x－5y＋14＝0C．6x＋5y＋14＝0D．6x＋5y－14＝0答案B解析由题意知F1(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴①设M为AB的中点，则M(－，1)．由作差得＋＝0，将①代入上式得＝.即k＝，由点斜式得，直线方程为y－1＝(x＋)，即6x－5y＋14＝0.5．(2018·广西南宁、梧州摸底联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案A解析设椭圆的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，将x＝－c代入椭圆方程得y＝±.设1A(－c，)，C(x，y)，由S△ABC＝3S△BCF2，可得AF2＝2F2C，即有(2c，－)＝2(x－c，y)，即2c＝2x－2c，－＝2y，可得x＝2c，y＝－，代入椭圆方程可得＋＝1.由e＝，b2＝a2－c2，得4e2＋－e2＝1，解得e＝，故选A.6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A，B两点．若向量AF＝3FB，则k＝()A．1B.C.D．2答案B解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为AF＝3FB，故y1＝－3y2.因为e＝，设a＝2t，c＝t，b＝t，故x2＋4y2－4t2＝0，直线AB的方程为x＝sy＋t.代入消去x，所以(s2＋4)y2＋2sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，－2y2＝－，－3y22＝－，解得s2＝，又k＝，则k＝.故选B.7．已知直线l：y＝k(x＋2)与椭圆x2＋9y2＝9交于A，B两点，若|AB|＝2，则k＝________．答案±解析椭圆x2＋9y2＝9即椭圆＋y2＝1，所以椭圆的焦点坐标为(±2，0)．因为直线y＝k(x＋2)，所以直线过椭圆的左焦点F(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝k(x＋2)代入椭圆x2＋9y2＝9，可得(1＋9k2)x2＋36k2x＋72k2－9＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝·＝，因为|AB|＝2，所以＝2，所以k＝±.8．直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．答案－解析由点差法可求出k1＝－·，∴k1·＝－，即k1k2＝－.9．(2018·河北唐山期末)设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________．答案＋＝1解析由△F2AB是面积为4的等边三角形知AB垂直x轴，得＝×2c，×2c×＝4，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所以的椭圆方程为＋＝1.10．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案－1解析由直线y＝(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝c.又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a.即e＝＝－1.11．已知椭圆＋＝1(0
