课后作业(十一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内的任何一条直线垂直，则l⊥α.A．3B．2C．1D．0[解析]根据线面垂直的判定定理可知，当平面α内有两条相交直线都与l垂直时，直线l与平面α垂直，故①错误，②③正确。故选B.[答案]B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是()A．1B．2C．3D．6[解析]仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．[答案]B3．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC[解析] PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，A正确； C为以AB为直径的圆周上一点，∴BC⊥AC，又BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴B、D正确．故选C.[答案]C4．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定[解析] BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC. AC平面ABC，∴l⊥AC.[答案]C5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析] PA⊥平面ABCD∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD.⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB由⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PD.∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形．[答案]D6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件aα，bα，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.[解析]由直线与平面垂直的判定定理知，需添加的一个条线为：a与b相交．[答案]a与b相交7．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.[解析]如图， AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC＝12，∴ED＝＝13.[答案]138．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．[解析](1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，PA平面PAC.所以BC⊥AP.[答案](1)AB，AC，BC(2)BC9．如图所示，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD.[证明]取AB的中点F，连接CF，DF. AC＝BC，∴CF⊥AB.又AD＝BD，∴DF⊥AB. CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.又CD平面CDF，∴AB⊥CD.又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.又AH平面ABE，∴CD⊥AH.又AH⊥BE，且BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD.10.如图所示，△ABC中，∠B为直角，P是△ABC外一点，且PA＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MN⊥AB.[解] CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，∴CB⊥平面APB.过M作ME∥CB，则ME⊥平面APB，∴ME⊥AB.若MN⊥AB， ME∩MN＝M，则AB⊥平面MNE，∴AB⊥EN.取AB中点D，连接PD， PA＝PB，∴PD⊥AB，∴NE∥PD.又M为PC中点，ME∥BC，∴E为PB中点． EN∥PD，∴N为BD中点，故当N为AB的四等分点(AN＝3BN)时，MN⊥AB.应试能力等级练(时间25分钟)11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是()A．ACB．BDC．A1D1D．A1A[解析] BD⊥AC，BD⊥A1A，AC∩A1A＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.又 CE平面ACC1A1，∴BD⊥CE.[答案]B12．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PCB．PA＝PB
0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是________．[解析]因为PA⊥平面AC，QD平面AC，∴PA⊥QD.又 PQ⊥QD，PA∩PQ＝P∴QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①当0
